在仲裁程序中，申请对方律师（这里实际应为仲裁员，因为律师是代理当事人参与仲裁，而仲裁员是负责裁决案件的人员，不过根据您的提问意图，我理解为您想询问的是申请仲裁员回避的情况）回避是确保仲裁公正性的重要环节。以下是对如何申请仲裁员回避的详细解答：
一、可申请仲裁员回避的法定情形
根据《中华人民共和国仲裁法》第三十四条的规定，当仲裁员存在以下情形时，当事人有权提出回避申请：
身份关系冲突：仲裁员是本案当事人，或者与当事人、代理人有近亲属关系，如父母、子女、兄弟姐妹等。
利害关系冲突：仲裁员与本案存在直接的利害关系，例如仲裁员或其近亲属是案件的直接利害关系人，或者仲裁员与案件结果有经济上的利益关系，可能影响其公正裁决。
其他影响公正的关系：仲裁员与本案当事人、代理人之间存在其他可能影响公正仲裁的关系，如朋友、同学、业务往来密切等。
不当行为：仲裁员私自会见当事人、代理人，或者接受其请客送礼，严重违反职业道德和仲裁规则，可能影响公正裁决。
二、申请回避的方式及时限
方式：当事人应以书面形式向仲裁机构提出回避申请，明确说明申请回避的对象、具体理由，并提供相应的证据材料以支持其申请。部分仲裁机构也允许口头申请，但通常要求事后补交书面材料以作记录。
时限：原则上，当事人应在首次开庭前提出回避申请。若回避事由在首次开庭后才得知，则可以在最后一次开庭终结前提出。这是为了确保仲裁程序的顺利进行，避免因回避申请而过度拖延。
三、申请回避的流程
提交申请：当事人按照法定情形和时限要求，向仲裁委员会提交书面或口头的回避申请，并附上理由和证据材料。证据材料应尽可能充分、确凿，以增加申请获得支持的可能性。
审查处理：仲裁委员会收到申请后，会对申请进行仔细审查。这通常包括要求被申请回避的仲裁员作出说明或提供相关证据，以核实回避事由的真实性。仲裁委员会可能会进行必要的调查或询问，以确保审查的公正性和准确性。
作出决定：
四、注意事项
暂停参与：在仲裁委员会作出是否回避的决定前，被申请回避的仲裁员应暂停参与本案的仲裁工作，以确保仲裁程序的公正性不受影响（紧急措施除外）。
充分举证：当事人申请回避时，应提供充分的证据证明仲裁员存在应当回避的情形。证据材料应真实、可靠，能够直接证明回避事由的存在。
尊重决定：当事人应尊重仲裁委员会作出的回避决定，并积极配合新的仲裁员进行案件审理。如果对决定有异议，可以通过合法途径表达，但不应干扰仲裁程序的正常进行。
综上所述，申请仲裁员回避是保障仲裁公正性的重要机制。当事人在遇到可能影响公正仲裁的情形时，应及时、正确地行使这一权利，以确保自己的合法权益得到公正、有效的保护。