在父亲去世后，关于其财产的继承顺序，特别是当父亲已指定财产给子女时与母亲的继承关系，我们可以根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，进行详细且清晰的梳理：

一、遗嘱优先原则

首先，需要明确的是，如果父亲生前已经订立了合法有效的遗嘱，并且明确指定了财产给子女，那么这份遗嘱将具有最高的法律效力。在这种情况下，遗产将严格按照遗嘱的内容进行分配，母亲作为配偶，其继承权将受到遗嘱内容的限制。也就是说，如果遗嘱中并未给母亲分配财产，或者分配的财产份额较少，那么母亲将只能继承遗嘱中指定的部分或无法继承（如果遗嘱完全排除了母亲的继承权，但需注意，完全排除配偶继承权在某些情况下可能因违反公序良俗原则而被部分或全部无效，这需具体案件具体分析）。

二、遗赠扶养协议的情况

如果父亲与某人（非子女或母亲）签订了合法有效的遗赠扶养协议，并且协议中约定了财产的分配方式，那么遗产将首先按照协议的约定进行分配。这同样可能影响到母亲和子女的继承权，具体取决于协议的内容。

三、法定继承原则（在无遗嘱或遗嘱无效时适用）

在无遗嘱或遗嘱无效的情况下，我们将依据法定继承原则来确定继承顺序：

1. 第一顺序继承人：包括配偶（即母亲）、子女（包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女）以及父母（如果父亲在世，则不涉及此部分；若父亲已去世且其父母仍在世，则他们也将作为第一顺序继承人）。在法定继承的情况下，母亲和子女将共同作为第一顺序继承人，按照均等原则（或根据实际情况，如对被继承人尽了主要扶养义务等，进行不均等分配）来继承遗产。

2. 第二顺序继承人：在第一顺序继承人不存在或放弃继承权的情况下，才由第二顺序继承人（包括兄弟姐妹、祖父母、外祖父母）继承。但在本题中，由于母亲和子女均作为第一顺序继承人存在，因此第二顺序继承人将不参与继承。

四、特殊情况下的考虑

• 代位继承：如果父亲的子女先于父亲去世，那么该子女的直系晚辈血亲（如孙子女）可以代位继承其应继承的份额。
• 对生活有特殊困难又缺乏劳动能力的继承人：在分配遗产时，应给予特别照顾。
• 对被继承人尽了主要扶养义务或与被继承人共同生活的继承人：可以多分遗产。
• 有扶养能力和条件但不尽扶养义务的继承人：在分配遗产时，应当不分或少分。

五、结论与建议

综上所述，如果父亲生前已指定财产给子女，并且遗嘱合法有效，那么遗产将按照遗嘱进行分配，母亲的继承权将受到遗嘱内容的限制。在无遗嘱或遗嘱无效的情况下，母亲和子女将作为第一顺序继承人共同继承遗产。在实际操作中，为了确保遗产分配的公平、合理与合法性，建议咨询专业律师以获取更具体的法律指导和帮助。他们可以根据具体情况，为您提供更详细、更准确的法律建议。