结论：第二年未续签劳动合同但继续用工，劳动者通常不能直接要求赔偿十一个月的双倍工资差额，而是有权要求用人单位支付从第二个月起至满一年前一日的双倍工资差额，即最多十一个月中的部分月份（具体为十一个月减去第一个月，也就是十个月中的九个月，若未满一年即解除劳动关系则按实际未签合同月份减一计算）。但需注意，若自用工之日起满一年仍未续签，则视为已订立无固定期限劳动合同，且此期间的双倍工资差额支付有特定规定。
详细分析：
法律依据与适用情形：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 在劳动合同到期后，若双方未续签新的劳动合同，但劳动者仍继续在原单位工作，此时应视为双方建立了事实劳动关系。若用人单位未在一个月内与劳动者补签劳动合同，则自第二个月起至补签或解除劳动关系之日止（但不超过一年），用人单位需向劳动者支付双倍工资差额。
计算方式与具体月份：
- 若劳动者在第二年未续签劳动合同但继续工作了十一个月，其有权要求用人单位支付从第二个月起至第十一个月（若未满一年）的双倍工资差额中的部分，即九个月的双倍工资差额（因为第一个月不计算在内）。计算公式为：双倍工资差额 = 月工资 × (未签合同月份数 - 1)。
- 特别地，若自用工之日起满一年仍未续签劳动合同，则根据《中华人民共和国劳动合同法实施条例》第七条，自用工之日起满一个月的次日至满一年的前一日，用人单位需向劳动者每月支付两倍的工资，并视为自用工之日起满一年的当日已经与劳动者订立无固定期限劳动合同。此时，双倍工资差额的计算将截止至满一年的前一日。
行动建议：
- 与用人单位协商：首先，您可以尝试与用人单位进行沟通，要求其按照法律规定支付双倍工资差额。在协商过程中，注意保留相关证据，如工资条、考勤记录、工作证等，以证明您与用人单位之间存在事实劳动关系。
- 申请劳动仲裁：如果协商无果，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会提起仲裁申请。在申请时，需提交相关证据材料以支持自己的主张，如劳动合同（如有）、工资支付记录、工作证明等。仲裁委员会将根据事实和法律进行裁决。
- 提起诉讼：如果您对仲裁结果不满意，还可以向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，法院将依法审理案件并作出判决。
特殊情况说明：
- 若在第二年未续签劳动合同期间，用人单位与劳动者已经形成了无固定期限劳动合同的关系（即自用工之日起满一年），则此时不再适用双倍工资差额的规定，而是应视为双方已经订立了无固定期限劳动合同。但此前未签合同期间的双倍工资差额仍需支付（若未支付且未超过一年）。
总结与提醒：
- 劳动者在遇到第二年未续签劳动合同但继续用工的情况时，应了解自己的权益并积极维护。通过与用人单位协商、申请劳动仲裁或提起诉讼等方式，要求用人单位支付应得的双倍工资差额。
- 同时，劳动者也应注意保留相关证据，以便在需要时证明自己的主张。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。