可以申请劳动仲裁。针对您干了五个月没签合同且没买社保的情况，以下从不同角度为您详细分析：
- 未签劳动合同：根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。您工作了五个月，用人单位未与您签订书面劳动合同，那么从第二个月起，您有权要求用人单位支付双倍工资，即除正常工资外，还可主张四个月的双倍工资差额。
- 未买社保：依据《社会保险法》第五十八条，用人单位应当自用工之日起三十日内为其职工向社会保险经办机构申请办理社会保险登记。未办理社会保险登记的，由社会保险经办机构核定其应当缴纳的社会保险费。用人单位未依法为劳动者缴纳社会保险费的，劳动者可以依据《劳动合同法》第三十八条解除劳动合同，并要求用人单位支付经济补偿金。同时，您还可以向当地社保部门投诉，要求用人单位补缴社会保险。
行动建议：
- 收集证据：保留好能证明您与用人单位存在劳动关系的证据，如工资条、工作证、考勤记录、同事证言等。这些证据在劳动仲裁中至关重要，能够证明您的工作时长、工资标准以及用人单位的违法行为。
- 申请劳动仲裁：向用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，提交仲裁申请书、证据材料等。在仲裁申请书中，明确您的仲裁请求，如要求用人单位支付双倍工资差额、补缴社会保险、支付经济补偿金等。
- 关注仲裁进程：在仲裁过程中，积极配合仲裁委员会的工作，按时参加仲裁庭审，陈述事实和理由，提供证据材料。如果仲裁结果对您有利，但用人单位不履行仲裁裁决，您还可以向人民法院申请强制执行。
如果您在劳动仲裁过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。