结论：行政机关在收到申请人提出的履职申请后，若其没有法定职权，仍需作出答复并告知救济途径。以下从法律背景、法律建议和可能的法律后果三个角度进行详细分析：
法律背景
行政机关的答复义务：
- 根据行政法的基本原则，行政机关在收到公民、法人或其他组织的申请后，无论是否具有法定职权，都应当及时作出答复。这是行政机关履行职责、保障公民知情权的基本要求。
- 答复的内容应当明确、具体，针对申请人的请求进行回应。若行政机关没有法定职权，应当明确告知申请人，并说明理由。
告知救济途径的义务：
- 行政机关在答复申请人时，若认为其申请不属于本机关的法定职权范围，除了告知申请人本机关没有职权外，还应当告知申请人有权向其他有权机关提出申请或寻求其他救济途径。
- 这是保障公民合法权益、防止行政机关推诿扯皮的重要措施。
法律建议
行政机关应积极履行答复义务：
- 行政机关在收到履职申请后，应尽快进行审查，确定是否具有法定职权。
- 若不具有法定职权，应及时作出答复，明确告知申请人本机关没有职权，并说明理由。
行政机关应告知救济途径：
- 在答复中，行政机关应详细告知申请人有权向其他有权机关提出申请或寻求其他救济途径，如提起行政复议或行政诉讼等。
- 告知的内容应具体、明确，包括有权机关的名称、联系方式、申请程序等，以便申请人能够及时、有效地寻求救济。
申请人应保留相关证据：
- 申请人在提出履职申请时，应保留好申请书、邮寄凭证等相关证据，以便在行政机关未履行答复义务或未告知救济途径时，能够依法维护自己的合法权益。
可能的法律后果
行政机关未履行答复义务的法律后果：
- 若行政机关在收到履职申请后未履行答复义务，申请人可以依法向行政机关的上级机关或监察机关投诉、举报，要求行政机关履行答复义务。
- 在某些情况下，申请人还可以依法提起行政诉讼，要求行政机关履行答复义务并承担相应的法律责任。
行政机关未告知救济途径的法律后果：
- 若行政机关在答复中未告知申请人救济途径，导致申请人无法及时、有效地寻求救济，申请人可以依法向行政机关的上级机关或监察机关投诉、举报。
- 若因行政机关未告知救济途径而给申请人造成损失的，申请人还可以依法要求行政机关承担相应的赔偿责任。
综上所述，行政机关在收到申请人提出的履职申请后，若其没有法定职权，仍需作出答复并告知救济途径。这是行政机关履行职责、保障公民知情权的基本要求，也是防止行政机关推诿扯皮、保障公民合法权益的重要措施。若您在行政相关领域遇到法律问题，可以直接向我咨询。