结论前置：卫生院编外合同到期没续签，一般情况下不能继续上班，但存在特殊情况。以下分情况详细说明：

1. 合同到期未续签，劳动关系自然终止，原则上不能继续上班

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》等相关法律法规，劳动合同到期后，若双方未续签书面劳动合同，原劳动合同所确立的劳动关系即行终止。这意味着从法律层面而言，劳动者与用人单位之间不再存在劳动关系，劳动者不再享有基于该劳动合同所赋予的各项权利，如获得劳动报酬、享受社会保险等，同时也不再承担相应的劳动义务。
   • 在这种情况下，如果劳动者继续在卫生院上班，卫生院与劳动者之间形成的是一种事实劳动关系。然而，这种事实劳动关系存在诸多法律风险。对于卫生院来说，可能会面临因未及时签订书面劳动合同而需支付双倍工资差额的风险（根据《劳动合同法》第八十二条规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资）；对于劳动者而言，其劳动权益可能无法得到充分保障，例如在发生工伤事故时，可能因缺乏有效的劳动合同依据而难以获得相应的工伤赔偿。

2. 存在特殊情况可继续上班

   • 双方默认续签或存在继续用工的合意：如果合同到期后，双方虽然没有立即续签书面劳动合同，但通过实际行动表明双方有继续维持劳动关系的意愿，例如卫生院继续安排劳动者工作，劳动者也继续按照卫生院的要求提供劳动，且双方对工资待遇、工作岗位等主要劳动条件没有异议，那么可以视为双方以实际行动默认续签了劳动合同。在这种情况下，劳动者可以继续上班，但为了保障双方的合法权益，建议尽快补签书面劳动合同。
   • 因不可抗力等客观原因导致未能及时续签：如果合同到期时，由于不可抗力（如自然灾害、疫情等）或其他客观原因（如双方正在协商续签合同但尚未达成一致，且该协商过程是合理、善意的），导致未能及时续签书面劳动合同，但劳动者仍在继续为卫生院提供劳动，卫生院也未表示反对的，劳动者可以继续上班。不过，在不可抗力等客观原因消除后，双方应当及时补签书面劳动合同，以明确双方的权利和义务。

建议：如果您的卫生院编外合同到期没续签，建议您先与卫生院进行沟通，了解未续签的原因以及卫生院的态度。如果卫生院有继续用工的意愿，应尽快补签书面劳动合同；如果卫生院明确表示不再续签，您应当及时办理工作交接手续，并按照法律规定主张自己的合法权益，如要求卫生院支付经济补偿等。如果您在处理过程中遇到任何法律问题，欢迎随时向我咨询。