结论：在孩子交给月嫂照顾期间生病的情况下，您是否可以要求月嫂承担赔偿责任，这取决于月嫂是否存在过错以及过错与孩子生病之间的因果关系。以下从不同角度进行分析：
一、月嫂存在过错且过错与孩子生病有因果关系
过错认定：
- 如果月嫂在照顾孩子的过程中，未按照专业标准或合同约定履行职责，如未按时给孩子喂奶、未及时更换尿布、未注意孩子的保暖或卫生等，导致孩子生病，那么月嫂存在过错。
因果关系：
- 需要证明月嫂的过错行为与孩子生病之间存在直接的因果关系。例如，如果因为月嫂未及时更换尿布导致孩子皮肤感染，进而引发发烧，那么可以认为月嫂的过错与孩子生病有因果关系。
赔偿责任：
- 在这种情况下，您可以要求月嫂承担赔偿责任，包括医疗费、护理费、交通费等因孩子生病而产生的合理费用。如果孩子因生病造成了其他损失，如精神损害等，也可以要求月嫂进行相应的赔偿。
二、月嫂不存在过错或过错与孩子生病无因果关系
无过错情况：
- 如果月嫂在照顾孩子的过程中，已经尽到了合理的注意义务，且按照专业标准或合同约定履行了职责，但孩子仍然生病，那么月嫂不存在过错。例如，孩子生病是由于自身免疫力低下或接触了其他病原体导致的，与月嫂的照顾行为无关。
无因果关系情况：
- 即使月嫂在照顾孩子的过程中存在某些不当行为，但这些行为与孩子生病之间没有直接的因果关系，那么您也不能要求月嫂承担赔偿责任。例如，月嫂虽然偶尔忘记给孩子喂奶，但孩子生病是由于其他原因导致的，与喂奶无关。
不承担赔偿责任：
- 在这两种情况下，您不能要求月嫂承担赔偿责任。因为赔偿责任的前提是过错和因果关系，如果这两个条件都不满足，那么月嫂就不应该承担赔偿责任。
三、特殊情况考虑
合同约定：
- 如果您与月嫂之间签订了书面合同，且合同中明确约定了月嫂在照顾孩子过程中的责任和义务，以及因过错导致孩子生病时的赔偿责任，那么应该按照合同约定执行。
证据收集：
- 在要求月嫂承担赔偿责任时，您需要收集相关证据来证明月嫂存在过错以及过错与孩子生病之间的因果关系。这些证据可以包括医疗记录、照片、视频、证人证言等。
建议：如果您认为月嫂在照顾孩子的过程中存在过错且过错与孩子生病有因果关系，建议您先与月嫂进行协商，尝试通过友好方式解决纠纷。如果协商不成，您可以考虑通过法律途径来维护自己的权益，如向法院提起诉讼或向相关机构申请调解。在处理此类纠纷时，务必保持冷静和理性，依法维护自己的合法权益。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。