在月嫂服务期间孩子生病，责任归属需根据具体情况分析，可能涉及月嫂个人、家政公司或雇主等多方主体。以下从不同角度进行详细分析：
一、月嫂个人责任
过错原则：
- 如果月嫂在服务过程中存在疏忽或故意行为，导致孩子生病，例如未按照科学方法喂养、未及时发现孩子病情变化等，月嫂可能需要承担相应的民事责任。
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。
举证责任：
- 雇主需要证明月嫂存在过错，并且该过错与孩子生病之间存在因果关系。这可能需要提供医疗记录、证人证言等证据。
二、家政公司责任
雇主责任：
- 如果月嫂是通过家政公司派遣的，家政公司作为雇主，可能需要对月嫂的过错行为承担雇主责任。
- 根据《中华人民共和国民法典》中关于雇主责任的规定，用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。
合同责任：
- 如果家政公司与雇主之间签订了服务合同，合同中可能规定了家政公司的服务标准和责任范围。如果家政公司未履行合同义务，导致孩子生病，家政公司可能需要承担违约责任。
三、雇主自身责任
监护责任：
- 雇主作为孩子的监护人，对孩子负有监护责任。如果孩子生病是由于雇主自身的疏忽或故意行为导致的，例如未提供适宜的生活环境、未按时接种疫苗等，雇主可能需要自行承担责任。
合理注意义务：
- 雇主在选择月嫂和家政公司时，应当尽到合理的注意义务，选择具有相应资质和信誉的服务提供者。如果雇主未尽到注意义务，导致选择了不合格的月嫂或家政公司，从而引发孩子生病的问题，雇主可能需要承担一定的责任。
四、其他可能情况
不可抗力：
- 如果孩子生病是由于不可抗力因素导致的，例如突发疫情、自然灾害等，各方主体可能无需承担责任。但具体情况需要根据相关法律法规和合同条款进行判断。
第三方责任：
- 如果孩子生病是由于第三方行为导致的，例如其他家庭成员的疏忽或故意行为、外部环境的污染等，责任应由第三方承担。
建议与行动
收集证据：
- 在发生孩子生病的情况后，雇主应及时收集相关证据，包括医疗记录、证人证言、服务合同等，以便在需要时证明各方主体的责任。
协商解决：
- 在责任归属不明确或存在争议的情况下，各方主体可以尝试通过协商解决纠纷。协商过程中可以寻求专业律师的协助，以确保协商结果的合法性和合理性。
法律途径：
- 如果协商无果或各方主体对责任归属存在严重分歧，雇主可以通过法律途径解决纠纷。可以向人民法院提起诉讼或申请仲裁等，以维护自身合法权益。
如有具体法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我将根据您的具体情况提供专业的法律意见和解决方案。