结论：体制内工作人员行贿行为即使已过追诉时效，仍存在被开除公职的可能性，但具体是否会被开除，需结合案件具体情况、单位内部规定及程序合规性综合判断。以下从不同角度详细分析：

一、追诉时效与行政处分的独立性

1. 追诉时效的法律意义
   根据《刑法》第八十七条，犯罪行为超过追诉时效期限的，不再追诉刑事责任。但需注意，追诉时效仅针对刑事责任，不涉及行政处分。行政处分（如开除公职）的依据是《公务员法》《行政机关公务员处分条例》等行政法规，其适用条件与刑事追诉时效无关。

2. 行政处分的时效限制
   《行政机关公务员处分条例》第十八条规定：“行政机关公务员违法违纪行为已经受到处分，或者违法违纪行为情节轻微，经批评教育后改正的，可以不再给予处分；但有证据证明公务员违法违纪行为应当受到处分的，不受时效限制。”
   关键点：若单位在发现行贿行为后未及时处分，但后续通过调查确认行为存在，仍可启动处分程序，不受时间限制。

二、行贿行为与开除公职的关联性

1. 行贿行为的性质
   根据《刑法》第三百八十九条，行贿罪指为谋取不正当利益，给予国家工作人员财物的行为。若行贿行为被认定构成犯罪（即使已过追诉时效），其性质仍属于严重违纪违法。

2. 开除公职的法定情形
   《公务员法》第五十六条、《行政机关公务员处分条例》第十七条规定，公务员有下列情形之一的，给予开除处分：

   • 因故意犯罪被判处刑罚的；
     
   • 虽未被判处刑罚，但行贿行为情节严重、影响恶劣，且符合单位内部规定的开除条件。
     重点：即使行贿行为未被刑事追诉，若单位认定其情节严重（如金额巨大、造成重大损失、多次行贿等），仍可依据内部规定开除公职。

三、单位处分程序的合规性

1. 调查与取证
   单位需对行贿行为展开调查，收集证据（如转账记录、证人证言、自认材料等），证明行为存在且情节严重。若证据不足或程序违法（如未听取当事人陈述申辩），处分决定可能被撤销。

2. 处分决定的作出与救济

   • 单位应依据调查结果作出书面处分决定，并告知当事人申诉权利。
     
   • 当事人可在收到决定后30日内申请复核，或向同级公务员主管部门或上级机关提出申诉（《公务员法》第九十条）。
     
   • 若处分决定被撤销，单位需重新处理或撤销处分。

四、实务中的常见情形

1. 已过追诉时效但被开除的案例
   实务中，若行贿行为虽未被刑事追诉，但单位通过内部调查确认行为存在且情节严重（如涉及金额较大、损害公共利益），可能直接依据《公务员法》或单位规定开除公职。例如，某公务员因行贿被举报，虽因追诉时效未被起诉，但单位调查后认定其行为违反廉洁纪律，最终予以开除。

2. 未被开除的情形
   若行贿行为情节轻微（如金额较小、未造成实际损失），或单位认为处分必要性不足，可能仅给予警告、记过等较轻处分，甚至不予处分。

五、建议与风险提示

1. 对当事人的建议

   • 若面临处分，应积极配合调查，如实陈述事实，提供有利证据（如退赃记录、悔过书等）。
     
   • 及时行使申诉权利，避免处分决定生效后难以救济。
     
   • 咨询专业律师，评估处分决定的合法性及申诉策略。

2. 对单位的建议

   • 严格依据《公务员法》及内部规定启动处分程序，确保证据充分、程序合规。
     
   • 平衡处分严厉性与教育挽救原则，避免过度处分引发争议。

总结：行贿行为已过追诉时效不免除行政处分风险，开除公职的可能性取决于行为情节、单位规定及程序合规性。若您或您身边的人涉及此类问题，可直接向我咨询具体案件细节及应对策略。