结论：劳动合同到期后继续工作一个月，单位主张不续签的，劳动者有权要求单位支付经济补偿金，具体分析如下：
一、法律背景与规定
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满后，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，劳动合同终止时，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。经济补偿的标准按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
二、具体情形分析
单位不续签且未提前通知：
- 在您描述的情形中，劳动合同到期后，您继续工作了一个月，而单位主张不续签。这通常意味着单位没有提前与您协商续签事宜，或者协商后决定不续签。
- 根据法律规定，单位应当支付您经济补偿金，补偿标准按照您在本单位的工作年限计算。由于您已经继续工作了一个月，这个月的工资也应当计入经济补偿的计算基数（如果这一个月的工作时间被认定为在原合同终止后的新工作期间，且未签订新合同，则可能根据实际情况调整计算方式，但通常不影响经济补偿的支付）。
单位可能存在的违法情形：
- 如果单位在劳动合同到期后，未与您续签书面劳动合同，但让您继续工作，这可能构成事实劳动关系。在这种情况下，单位除了支付经济补偿金外，还可能面临因未签订书面劳动合同而需支付双倍工资的风险（但这一风险通常针对的是超过一个月未签订书面劳动合同的情形，您的情况中仅一个月，可能不直接适用双倍工资的规定，但具体需根据地方性法规和司法实践判断）。
- 另外，如果单位在劳动合同到期后，以降低原劳动合同约定条件（如降低工资、变更工作地点等）的方式要求续签，而您不同意续签的，单位同样需要支付经济补偿金。但您的情况中并未提及单位有降低条件的行为，所以主要关注不续签本身。
三、建议与行动
与单位协商：
- 首先，您可以尝试与单位进行协商，明确单位不续签的原因，并要求单位按照法律规定支付经济补偿金。
收集证据：
- 如果协商无果，您需要收集相关证据，如劳动合同、工资单、工作证明等，以证明您与单位之间的劳动关系以及您的工作年限和工资水平。
申请劳动仲裁：
- 凭借收集到的证据，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求单位支付经济补偿金。在仲裁过程中，您需要详细陈述事实和理由，并提供相关证据支持您的主张。
寻求法律援助：
- 如果您在劳动仲裁过程中遇到困难或需要进一步的法律帮助，可以随时向我咨询，我将根据您的具体情况提供专业的法律建议和支持。
最后，劳动合同到期后继续工作一个月而单位主张不续签的情况下，您有权要求单位支付经济补偿金。如果单位拒绝支付或您对此有疑问，请随时向我咨询，我将竭诚为您提供法律帮助。