结论：医院合同工工作八年后单位不续签，您有权获得相应的经济补偿，并可根据具体情况考虑是否要求签订无固定期限劳动合同或寻求其他法律救济。
详细分析：
经济补偿：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，当劳动合同期满，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。
- 经济补偿的计算方式通常为：按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。因此，您在医院工作八年，应获得八个月工资的经济补偿。
无固定期限劳动合同：
- 根据《劳动合同法》第十四条，劳动者在用人单位连续工作满十年的，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。虽然您目前工作年限为八年，尚未达到十年，但如果您希望继续在医院工作，且医院愿意续签劳动合同，您可以与医院协商签订无固定期限劳动合同的相关事宜，或者在未来两年内继续工作至满十年时提出签订无固定期限劳动合同的要求。不过，就目前情况而言，单位不续签并不直接触发签订无固定期限劳动合同的义务。
- 值得注意的是，如果医院在您工作满十年后仍不续签无固定期限劳动合同，则属于违法行为，您有权要求医院签订无固定期限劳动合同或寻求法律救济。
法律救济途径：
- 如果医院不支付经济补偿或拒绝续签劳动合同且您希望继续工作，您可以先与医院进行协商，尝试达成和解。
- 若协商无果，您可以向当地的劳动争议调解组织申请调解，或者向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在仲裁过程中，您需要提供相关证据证明您的工作年限、工资水平以及医院不续签劳动合同的事实。
- 如果对仲裁结果不满意，您还可以向人民法院提起诉讼，通过司法途径维护自己的合法权益。
建议：
- 在处理此类问题时，建议您先收集并整理好相关证据，如劳动合同、工资单、工作证明等，以便在协商、调解或仲裁过程中证明自己的权益。
- 如果您对法律程序不熟悉或感到困惑，可以寻求专业律师的帮助，以确保您的权益得到充分保障。
后续行动：
- 您现在可以与医院进行沟通，了解其不续签劳动合同的具体原因，并尝试协商经济补偿等事宜。
- 如果协商无果，您可以按照上述法律救济途径逐步维护自己的权益。
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