核心结论：针对法院判决要求房东开发票，但房东因没有合同而无法开具的情况，可通过以下方式解决：

1. 与房东协商补签合同或提供其他证明材料

   • 协商补签合同：尽管原租赁关系可能未签订书面合同，但根据《民法典》第七百零七条，租赁期限六个月以上的，应当采用书面形式；未采用书面形式的，视为不定期租赁。因此，双方可协商补签一份书面租赁合同，明确租赁期限、租金等关键条款，以便房东凭此合同向税务机关申请代开发票。
   • 提供其他证明材料：若房东不愿补签合同，可尝试提供其他能证明租赁关系的材料，如租金支付记录（银行转账记录、微信/支付宝转账截图等）、租赁期间的沟通记录（短信、微信聊天记录等）、房屋使用证明（如水电费缴纳记录显示承租人姓名等）。这些材料虽不如书面合同直接，但能在一定程度上证明租赁关系的存在，有助于房东申请代开发票。

2. 向税务机关申请代开发票

   • 房东自行申请：房东可携带身份证、房屋产权证明（如房产证）及上述协商提供的证明材料，前往当地税务局办税服务厅申请代开普通发票。根据《发票管理办法》第十六条，需要临时使用发票的单位和个人，可以凭购销商品、提供或者接受服务以及从事其他经营活动的书面证明、经办人身份证明，直接向经营地税务机关申请代开发票。
   • 承租人协助申请：若房东因故无法亲自申请，承租人可协助房东准备相关材料，并陪同房东或经房东授权后，代为向税务机关申请代开发票。在此过程中，需确保所有材料的真实性和合法性，避免因材料不实而导致申请被拒或面临法律责任。

3. 寻求法律途径解决

   • 申请法院强制执行：若房东拒绝开具发票且协商无果，承租人可依据法院已生效的判决，向法院申请强制执行。法院在执行过程中，可要求房东履行开具发票的义务，或采取其他措施（如罚款、拘留等）迫使房东履行。
   • 提起民事诉讼（如房东构成违约）：若租赁合同中明确约定了房东开具发票的义务，而房东未履行，承租人可依据合同约定，向法院提起民事诉讼，要求房东承担违约责任（如赔偿损失、支付违约金等）。在此过程中，需提供充分的证据证明房东未履行开具发票的义务，以及因此给承租人造成的损失。

额外建议：在整个过程中，建议承租人保持与房东的沟通，尽量通过协商方式解决问题，以减少不必要的法律纠纷和成本。同时，承租人也应了解自己的权利和义务，确保在租赁关系中的合法权益得到保障。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可直接向我咨询。