结论前置：当劳动合同到期，员工既不续签也不愿意离职时，用人单位和员工都应明确各自的权利与义务，并采取合适的措施来妥善处理这一劳动关系问题。以下是从用人单位和员工两个角度出发的详细分析。
用人单位角度
明确劳动合同状态：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条，劳动合同期满即终止。若员工不愿续签，且用人单位未提出续签或降低条件导致员工不愿续签，则用人单位无需支付经济补偿（但需注意，若用人单位维持或提高条件而员工不愿续签，同样无需经济补偿，但此情况与当前问题不符）。然而，若员工继续在单位工作且单位未表示异议，根据《最高人民法院关于审理劳动争议案件适用法律问题的解释（一）》第三十四条，视为双方同意以原条件继续履行劳动合同。
及时沟通与决策：
- 用人单位应及时与员工沟通，了解其不愿续签也不愿离职的具体原因，如是否对续签条件有异议、是否有其他个人原因等。
- 根据沟通结果，用人单位应尽快做出决策，是选择与员工协商续签新合同、调整工作安排，还是决定终止劳动关系。
采取措施避免法律风险：
- 若用人单位决定不续签，应明确告知员工，并按照法律规定支付经济补偿（若适用）。
- 若用人单位希望员工继续留任，应尽快与员工签订新合同或补充协议，明确双方的权利和义务。
- 若员工既不续签也不离职，且用人单位希望终止劳动关系，应通过正式渠道（如书面通知）告知员工，并办理离职手续，避免管理漏洞导致的法律风险。
纠纷解决途径：
- 若与员工协商不成，用人单位可向单位注册地的劳动仲裁委员会申请仲裁，或向劳动监管机构申诉举报，以维护自己的合法权益。
员工角度
明确个人意愿与诉求：
- 员工应首先明确自己是否愿意继续留任，以及留任的条件和期望。
- 若不愿留任，应明确表达离职意愿，并了解离职后的相关权益（如经济补偿、离职证明等）。
与用人单位沟通：
- 员工应主动与用人单位沟通，表达自己的意愿和诉求，并尝试协商解决方案。
- 若用人单位提出续签新合同或调整工作安排，员工应根据自己的实际情况和意愿进行考虑和回应。
了解并维护自己的权益：
- 员工应了解自己在劳动合同到期后的相关权益，如经济补偿、社保转移等。
- 若用人单位存在违法行为（如未支付经济补偿、未办理离职手续等），员工可通过劳动仲裁或向劳动监管机构申诉举报来维护自己的合法权益。
采取行动避免不利后果：
- 若员工既不愿续签也不愿离职，且未与用人单位达成一致意见，应尽快做出决策并采取行动，避免长期处于不确定状态导致的不利后果（如被用人单位视为旷工、影响个人信用等）。
特殊情况与注意事项
- 经济补偿的计算：若用人单位需要支付经济补偿，根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 无固定期限劳动合同：若员工具备签订无固定期限劳动合同的资格而用人单位不续签，则属于违法解除，需支付双倍经济补偿。
- 证据保留：无论是用人单位还是员工，在处理劳动关系问题时都应保留好相关证据（如劳动合同、工作记录、工资条、沟通记录等），以便在必要时使用。
综上所述，当劳动合同到期员工既不续签也不愿意离职时，用人单位和员工都应明确各自的权利与义务，及时沟通并采取合适的措施来妥善处理这一劳动关系问题。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。