结论前置：离异母亲有案底，抚养权在父亲那里，这种情况确实可能对儿子当兵产生一定影响，但具体影响程度需根据案底性质、当地征兵政策以及儿子所报考的兵种或岗位等因素综合评估。
详细分析：
法律原则与家庭关系：
- 我国法律并未直接规定父母有案底会导致子女不能当兵，子女的法律责任与父母的行为是独立的。然而，在征兵政审环节，家庭成员的背景会被考虑，尤其是父母是否有刑事犯罪记录。
- 父母与子女间的关系不因父母离婚而消除，因此，即使母亲离异，其犯罪记录仍可能影响儿子的政审结果。
征兵政治审查要点：
- 征兵过程中，政治审查是关键环节，主要考察应征公民的思想进步、品德优良、作风正派以及组织纪律性和法制观念。
- 根据相关规定，如果家庭主要成员（包括父母）有被刑事处罚等严重违法问题，且本人有包庇、报复言行，将不得征集服现役。这意味着，即使抚养权在父亲那里，母亲的案底仍可能成为儿子政审的障碍。
案底性质与影响差异：
- 母亲案底的性质（如刑事、行政等）和严重程度会直接影响政审结果。一般而言，刑事案底对政审的不利影响更为显著。例如，如果母亲因犯罪被判处刑罚，这将对儿子的政审产生较大负面影响。
- 不同地区在执行征兵政策时可能存在细微差异，这也会影响最终判断。有些地区可能对家庭成员的犯罪记录采取更为严格的审查标准，而有些地区则可能相对宽松。
特殊兵种与岗位要求：
- 某些特殊兵种或涉密岗位对家庭成员的背景有更严格的要求。在这些情况下，母亲的犯罪记录更可能成为儿子入伍的障碍。例如，报考军事院校或参军入伍时，政审环节可能更加严格，对家庭成员的背景审查也会更加细致。
建议与行动：
- 如果儿子有意参军，建议提前了解当地征兵政策和具体要求，特别是关于家庭成员背景审查的部分。这有助于儿子更好地准备政审材料，并提前规划应对策略。
- 同时，也可以寻求我的帮助，以便更全面地评估和分析具体情况。我可以根据儿子的具体情况和当地政策，提供针对性的法律建议和指导。
法律背景与依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千零八十四条，父母与子女间的关系不因父母离婚而消除。这意味着，即使父母离异，他们仍然对孩子负有抚养、教育和保护的权利和义务。因此，母亲的法律行为，包括其案底情况，可能在某些情况下对孩子产生持续影响。
- 在征兵政审环节，家庭成员的背景会被考虑，尤其是父母是否有刑事犯罪记录。这是为了确保应征公民具备良好的政治素质和道德品质，能够胜任军队的工作和任务。
可能后果与应对：
- 如果母亲的案底对儿子的政审产生不利影响，儿子可能无法顺利入伍或报考军事院校。在这种情况下，儿子可以考虑其他职业选择或继续深造，以提升自己的综合素质和竞争力。
- 同时，儿子也可以积极与征兵部门沟通，了解政审的具体要求和标准，并尝试提供相关证明材料来证明自己的政治素质和道德品质符合入伍要求。
总之，离异母亲有案底确实可能对儿子当兵产生一定影响，但具体影响程度需根据多种因素综合评估。如果儿子有意参军，建议提前了解相关政策并做好充分准备。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。