单位一般无权因工伤九级伤残而开除员工或对其降职，但在特定法定情形下可以解除劳动关系。以下是对此问题的详细分析：
一、一般情况：不得随意开除或降职
根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条的规定，劳动者在本单位患职业病或者因工负伤并被确认丧失或者部分丧失劳动能力的，用人单位不得依照本法第四十条（无过失性辞退）和第四十一条（经济性裁员）的规定解除劳动合同。九级伤残属于部分丧失劳动能力的情况，因此，单位一般无权因工伤九级伤残而开除员工。
同时，单位也不得随意对工伤九级伤残的员工进行降职处理。降职通常涉及劳动合同的变更，而根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同的变更应当经双方协商一致，并采用书面形式。如果单位未经员工同意，单方面对其降职，可能构成违法变更劳动合同，员工有权要求单位恢复原岗位或承担相应的法律责任。
二、特定法定情形：可以解除劳动关系
尽管单位一般无权因工伤九级伤残而开除员工，但在某些特定法定情形下，单位可以解除劳动关系。这些情形主要包括：
员工严重违反单位规章制度：如果员工因工伤九级伤残后，严重违反了单位的规章制度，且该规章制度是合法有效的，单位有权依据规章制度解除与员工的劳动关系。但需要注意的是，单位在解除劳动关系前，应当确保规章制度的合法性，并遵循相应的程序要求。
员工严重失职、营私舞弊，给单位造成重大损害：如果员工因工伤九级伤残后，因严重失职或营私舞弊行为给单位造成了重大损害，单位有权解除与员工的劳动关系。但同样需要确保解除行为的合法性和合理性。
员工被依法追究刑事责任：如果员工因工伤九级伤残后，被依法追究刑事责任，单位有权解除与员工的劳动关系。这是基于法律对违法行为的制裁和保护单位合法权益的考虑。
三、单位应如何处理工伤九级伤残员工
保留劳动关系：单位应当继续保留与工伤九级伤残员工的劳动关系，为其提供适当的工作岗位或安排其他合适的工作。这有助于保障员工的合法权益，同时也有助于单位履行社会责任。
提供必要支持：根据员工的身体状况和工作能力，单位可以调整其工作内容、工作时间或工作地点等，以确保其能够胜任工作并保障其合法权益。例如，可以安排员工从事轻体力劳动或提供必要的辅助设备等。
协商解除劳动关系：如果确实无法继续履行劳动合同，且双方协商一致，可以依法解除劳动关系。但在此情况下，单位需要支付相应的经济补偿金，并按照法律法规的规定支付一次性工伤医疗补助金和一次性伤残就业补助金等。这些补助金的支付标准和方式应当遵循相关法律法规的规定。
四、法律后果与建议
如果单位违反法律规定，擅自解除与工伤九级伤残员工的劳动关系或对其进行降职处理，将构成违法解除或违法变更劳动合同。员工有权要求单位继续履行劳动合同、恢复原岗位或支付赔偿金等。赔偿金的计算标准通常为经济补偿标准的二倍，具体数额需要根据员工的工资水平和工作年限等因素进行计算。
建议工伤九级伤残员工在遇到单位违法解除或降职处理时，及时收集相关证据并咨询专业律师（即向我咨询），以便更好地维护自己的合法权益。同时，也建议单位在处理工伤九级伤残员工时，遵循法律法规的规定和程序要求，确保解除或变更行为的合法性和合理性。