在老人去世且无第一、第二顺序继承人，其他旁系亲属尽了赡养义务的情况下，这些旁系亲属可通过以下方式继承遗产：
法定继承中的代位继承与酌情分得遗产权分析
根据《民法典》第1127条，法定继承顺序为：第一顺序（配偶、子女、父母）→ 第二顺序（兄弟姐妹、祖父母、外祖父母）。若老人无上述两类继承人，原则上遗产应归国家所有（用于公益事业）或集体所有制组织所有。但根据《民法典》第1131条，对被继承人尽了主要扶养义务的旁系亲属，即使不属于法定继承人，也可主张“酌情分得遗产”。此处“尽了赡养义务”需满足两个条件：
- 长期、持续提供生活照料（如共同居住、日常护理、医疗陪伴等）；
- 承担主要经济支持（如支付医疗费、生活费、丧葬费等）。
若旁系亲属仅偶尔探望或提供少量帮助，可能难以被认定为“主要扶养义务人”。
证据收集与主张权利的路径
- 证据类型：需收集以下材料证明赡养事实：
- 共同居住证明（如居委会/村委会出具的居住证明、水电费缴纳记录）；
- 医疗记录（如陪同就医的挂号单、病历、缴费凭证）；
- 经济支出凭证（如转账记录、购物发票、丧葬费发票）；
- 证人证言（如邻居、医护人员、社区工作人员的书面证言）。
- 协商与诉讼：
- 协商：可与其他可能主张权利的亲属（如远房亲戚）协商分配方案，达成一致后签订书面协议；
- 诉讼：若协商不成，可向法院提起“遗产分割诉讼”，以“尽了主要扶养义务”为由主张分得遗产。法院将根据赡养程度、遗产价值等因素，酌情判决分配比例（通常不超过法定继承人应得份额）。
特殊情形：遗赠扶养协议的优先性
若老人生前与旁系亲属签订了《遗赠扶养协议》（明确约定由该亲属负责赡养，老人去世后遗产归其所有），则该协议效力优先于法定继承和酌情分得遗产权。此时，旁系亲属可直接依据协议继承遗产，无需与其他人协商或诉讼。但需注意：
- 协议需采用书面形式，并明确赡养义务内容（如生活照料、医疗护理、丧葬安排等）；
- 协议需在老人去世前已实际履行（如已提供赡养服务），否则可能被认定为未生效。
行动建议：
- 立即整理赡养证据（如上述材料），并与其他亲属沟通协商分配方案；
- 若协商无果，尽快委托律师起草起诉状，向法院提起遗产分割诉讼；
- 若老人曾签订遗赠扶养协议，需核对协议内容及履行情况，确保权利主张合法有效。
如有进一步疑问，可直接向我咨询，我将结合具体证据和案情提供详细分析。