结论：员工是否可以申请N+1赔偿，需根据具体情况判断，主要取决于公司解除劳动合同的合法性及是否符合支付经济补偿或赔偿金的法定条件。以下分情况详细说明：

一、公司合法解除劳动合同的情况

若公司因业务调整、经营需要等合法原因，决定将人力资源外包，并每年与外包人员签订新的劳动合同，且这一过程中公司遵循了相关法律法规，如提前与员工协商、支付了相应的经济补偿（若适用）等，那么公司解除劳动合同的行为可能是合法的。在此情况下，员工通常无权要求N+1赔偿。因为N+1赔偿通常适用于公司违法解除劳动合同的情形，而合法解除则按照《劳动合同法》的规定支付经济补偿（N）即可，无需额外支付一个月工资（即“+1”部分）。

二、公司违法解除劳动合同的情况

若公司在将人力资源外包的过程中，存在违法解除劳动合同的行为，如未提前通知员工、未支付经济补偿、未遵循法定程序等，那么员工有权要求公司支付赔偿金，赔偿金的标准为经济补偿的两倍，即2N。但需要注意的是，这里的“2N”赔偿并不等同于“N+1”赔偿。不过，在某些特定情况下，如果公司违法解除劳动合同且员工能够证明因公司行为导致其遭受了额外损失（如因未提前通知而导致的失业期间的生活费用等），员工可能可以主张额外的赔偿，但这需要具体证据支持，且并非法律明确规定的“N+1”赔偿。

特殊情形说明：

• “N+1”赔偿的适用条件：根据《劳动合同法》的相关规定，“N+1”赔偿通常适用于公司未提前三十日以书面形式通知员工解除劳动合同的情形。但在此案例中，由于公司是每年与外包人员签订新的劳动合同，而非直接解除原有劳动合同，因此“N+1”赔偿的直接适用性存疑。不过，如果公司在签订新合同前未给予员工合理的考虑期或未支付相应的经济补偿（若原合同解除需支付），且这一行为被认定为违法，员工可能可以主张类似“N+1”的赔偿（但具体需根据法院或仲裁机构的裁决）。

• 经济补偿的计算：经济补偿的计算基数为员工在公司工作的年限乘以员工解除劳动合同前十二个月的平均工资。若公司合法解除劳动合同，则需按照这一标准支付经济补偿（N）；若违法解除，则需支付赔偿金（2N）。

三、建议与行动指南

1. 收集证据：员工应收集与公司解除劳动合同相关的所有证据，包括劳动合同、解除劳动合同的通知、工资单、工作证明等，以证明自己的权益受到侵害。

2. 协商与调解：在收集到足够证据后，员工可以尝试与公司进行协商或寻求劳动调解机构的帮助，以达成和解协议并获取应有的赔偿。

3. 申请仲裁或提起诉讼：若协商或调解无果，员工可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。

最后，由于劳动纠纷案件具有复杂性和个体差异性，每个案件的具体情况都可能有所不同。因此，在处理此类纠纷时，建议员工及时咨询专业律师（如我），以便获得更具体、更专业的法律建议。