连带责任担保人在未履行债务时，债权人当然可以先起诉债务人，同时，在特定情况下，连带责任担保人自己也有权起诉债务人。以下是对这一问题的详细分析：
债权人起诉债务人的权利
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》第六百八十八条，当事人在保证合同中约定保证人和债务人对债务承担连带责任的，为连带责任保证。在连带责任保证中，债务人不履行到期债务或者发生当事人约定的情形时，债权人可以请求债务人履行债务，也可以请求保证人在其保证范围内承担保证责任。这意味着债权人享有广泛的选择权，既可以选择起诉债务人，也可以选择起诉担保人，或者同时起诉两者。
实际操作：
- 在实际操作中，债权人通常会根据债务人的财产状况、担保人的清偿能力以及诉讼成本等因素，综合考虑选择起诉的对象。如果债务人具备清偿能力且易于追索，债权人可能会选择直接起诉债务人；如果债务人难以追索或财产不足，债权人则可能会选择起诉担保人或同时起诉债务人和担保人。
连带责任担保人起诉债务人的权利
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》第七百条，保证人承担保证责任后，除当事人另有约定外，有权在其承担保证责任的范围内向债务人追偿，享有债权人对债务人的权利，但是不得损害债权人的利益。这意味着，一旦担保人代债务人偿还了借款本金、利息、违约金等，就有权要求债务人予以返还。
起诉条件：
- 担保人起诉债务人通常发生在担保人已经承担了保证责任，即代替债务人向债权人偿还了债务后。如果债务人未向担保人偿还这笔款项，担保人有权依法向人民法院提起诉讼，要求债务人偿还其代偿的款项及相关合理费用。
起诉程序：
- 担保人起诉债务人需要准备充分的证据材料，如还款凭证、债权人出具的收款证明等，以及证明与债务人之间存在担保关系的相关合同、协议等文件。
- 撰写起诉状时，应明确写明原告（担保人）、被告（债务人）的基本信息，详细阐述起诉的事实和理由，并明确诉讼请求。
- 向有管辖权的法院提起诉讼，一般向被告住所地或者合同履行地的法院起诉。
- 参加庭审过程中，需按照法庭的要求陈述事实、出示证据，并接受法庭的询问和对方当事人的质证。
担保期限与诉讼时效
- 连带责任担保人的担保期限是主债务履行期限届满之日起六个月，当事人另有约定的除外。在保证期间内，如果债权人未向保证人主张权利，则保证人不再承担保证责任。
- 一旦债权人在保证期间届满前请求保证人承担保证责任，则从该请求之日起开始计算保证债务的诉讼时效。担保人需在规定的时效期内行使自己的追偿权，否则可能会丧失法律保护。
总结与建议：
- 对于债权人而言，在连带责任担保中享有广泛的选择权，可以根据实际情况选择起诉债务人或担保人。
- 对于担保人而言，在承担保证责任后有权向债务人追偿，并在必要时通过法律途径维护自己的权益。但需注意担保期限和诉讼时效的问题，确保在规定的时效期内行使追偿权。
- 如果您作为担保人或债权人面临类似情况，建议及时咨询专业律师，以便更好地了解自己的权利和义务，并采取合适的法律措施维护自己的合法权益。
希望以上分析能对您有所帮助。如果您有任何其他问题或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。