核心结论：针对您离职补半个月工资但未开具离职证明的情况，您有权要求原单位补开离职证明，若单位拒绝，可通过协商、投诉或法律途径解决。以下为详细分析：

1. 离职证明的法定性
   根据《劳动合同法》第五十条，用人单位在解除或终止劳动合同时，必须为劳动者出具离职证明，并办理档案和社会保险关系转移手续。这是单位的法定义务，与是否支付经济补偿（如您提到的半个月工资）无关。即使单位已支付补偿，仍需开具离职证明。

2. 单位的责任与您的权利

   • 若单位未开具离职证明，您可主动要求单位补开，并明确告知其法律义务。
     
   • 若单位以“已支付补偿”为由拒绝，此理由不成立，您仍有权坚持要求开具证明。
     
   • 离职证明应包含劳动合同期限、解除或终止日期、工作岗位、在本单位工作年限等信息（《劳动合同法实施条例》第二十四条），您可要求单位按规范填写。

3. 解决途径

   • 协商：优先与单位人事或直接上级沟通，明确需求，保留书面沟通记录（如邮件、微信）。
     
   • 投诉：若协商无果，可向当地劳动监察大队投诉（可通过12333热线或官网查询联系方式），监察部门会责令单位限期改正。
     
   • 仲裁/诉讼：若单位仍拒绝，您可申请劳动仲裁，要求单位开具证明并可能主张因未开具证明导致的损失（如新单位入职延误的工资损失）。需注意，仲裁需在离职后1年内提出。

4. 注意事项

   • 保留与单位的劳动关系证据（如劳动合同、工资流水、离职交接单等），以证明您与单位的劳动关系及离职事实。
     
   • 若单位开具的离职证明内容不实（如写明“被辞退”但实际是协商离职），您可要求更正，否则可能影响后续就业，此时可通过法律途径主张权利。

建议行动步骤：

1. 再次书面要求单位开具离职证明（可通过邮件或书面函件，明确法律依据）；
   
2. 若单位仍拒绝，7日内向劳动监察大队投诉；
   
3. 若投诉未果，准备证据申请劳动仲裁。
   

如有其他细节需进一步分析（如单位拒绝的具体理由、您是否已签署离职协议等），可随时向我补充说明，我会为您细化解决方案。