在您父亲去世且未立遗嘱的情况下，您母亲和两个子女的继承权将依据《中华人民共和国民法典》中的法定继承原则来确定。以下是对此情况的详细解释：
一、确定法定继承人身份和顺序
根据法律规定，遗产的继承顺序分为第一顺序和第二顺序。在您父亲去世的情况下，第一顺序的继承人包括您的母亲（配偶）、您和您的兄弟姐妹（子女）。由于您提到只有两个子女，所以这里的第一顺序继承人就是您的母亲和您以及您的另一个兄弟姐妹。第二顺序继承人（如兄弟姐妹的子女、祖父母、外祖父母等）在此情况下不参与继承，因为第一顺序继承人存在。
二、遗产分配原则
均等分配原则：
- 在没有特殊情况的情况下，同一顺序的继承人应平等地分配遗产。例如，如果您的父亲留下了价值一定数额的遗产，那么您母亲、您和您的兄弟姐妹原则上应各自继承相等的份额。
特殊情况下的区别对待：
- 如果某个继承人生活有特殊困难且缺乏劳动能力，应当予以照顾，适当多分遗产。
- 如果某个继承人对被继承人尽了主要扶养义务或者与被继承人共同生活，也可以多分遗产。
- 相反，如果有扶养能力和条件但不尽扶养义务的继承人，应当不分或少分遗产。
协商处理：
- 继承人之间可以就遗产分配进行协商，并达成一致意见。一旦达成协议，就按照协商结果分配遗产。
三、遗产处理程序
确认遗产范围：
- 首先需要明确哪些财产属于您父亲的遗产，这包括但不限于房产、车辆、存款、股权、债权等。需要查看相关产权证明和账户信息来确定遗产的具体范围。
办理相关证明：
- 收集并办理死亡证明、亲属关系证明等必要文件。这些证明可以在医院、公安机关、社区等相关部门开具，是办理继承手续的重要依据。
办理继承手续：
- 对于房产等不动产，需要到不动产登记中心办理过户手续，可能需要提交公证书或法院的生效法律文书。
- 对于银行存款等金融资产，继承人需向银行提供相关证明材料，如死亡证明、亲属关系证明、公证书等，以办理存款的支取或过户手续。
分割遗产：
- 根据法定继承原则或协商达成的协议，对遗产进行实际分割。确保每个继承人按照其应得的份额获得遗产。
四、注意事项及纠纷解决
遵守法律规定：
- 在整个继承过程中，必须确保所有操作都符合法律法规的要求，避免因违法操作而引发纠纷或损失。
保留证据材料：
- 妥善保管与继承相关的所有证据材料，如死亡证明、亲属关系证明、产权证明等，以备不时之需。
及时沟通协商：
- 继承人之间应保持良好沟通，通过协商解决分歧和争议。如果无法协商一致，可以考虑通过调解或诉讼等方式解决纠纷。
纠纷解决方式：
- 如果继承人之间就遗产继承问题产生纠纷，可以首先尝试协商解决。如果协商无果，可以请求人民调解委员会或其他调解机构进行调解。如果调解仍然无法解决问题，可以向人民法院提起诉讼，由法院依法判决。
综上所述，您父亲去世后未立遗嘱时，您母亲和两个子女的继承权主要依据法定继承原则来确定。在处理遗产时，应遵循明确的分配原则，并按照规定的程序办理继承手续。同时，继承人之间应注重沟通和协商，以确保整个继承过程的顺利进行。