结论：在非地基基础结构工程擅自使用后提起反诉要求质量鉴定，法院是否支持需视具体情况而定，但一般而言，若工程已擅自使用，可能面临法院不支持质量鉴定的风险。以下从多个角度进行详细分析：
一、法律原则与规定
《民法典》相关规定：
- 根据《民法典》的相关规定，建设工程竣工后，发包人应当根据施工图纸及说明书、国家颁发的施工验收规范和质量检验标准及时进行验收。验收合格的，发包人应当按照约定支付价款，并接收该建设工程。
- 若发包人擅自使用未经验收的建设工程，则视为发包人对该工程质量的认可，此后若出现质量问题，发包人可能难以主张承包人的质量责任。
质量鉴定的前提：
- 质量鉴定通常需要在工程未使用或未受干扰的状态下进行，以确保鉴定结果的准确性和公正性。
- 若工程已被擅自使用，其原始状态可能已发生改变，从而影响鉴定结果的可靠性。
二、法院支持与不支持的情况
法院可能不支持的情况：
- 工程已擅自使用：若发包人在工程未经验收的情况下擅自使用，且在使用过程中未对工程进行妥善保护，导致工程状态发生改变，法院可能认为此时进行质量鉴定已无实际意义，从而不支持发包人的质量鉴定请求。
- 鉴定时机不当：若发包人在工程使用一段时间后才提出质量鉴定请求，且无法证明工程在使用过程中未受其他因素干扰，法院也可能因鉴定时机不当而不支持其请求。
法院可能支持的情况：
- 工程虽已使用，但质量问题明显且与使用无关：若工程在擅自使用后仍出现明显的质量问题，且这些问题与使用行为无直接关联（如地基下沉、结构裂缝等），法院可能认为有必要进行质量鉴定以明确责任。
- 双方协商一致或法院认为有必要：在特定情况下，若双方协商一致同意进行质量鉴定，或法院认为进行质量鉴定对于查明事实、分清责任具有必要性，法院也可能支持发包人的质量鉴定请求。
三、实际操作建议
发包人角度：
- 在工程竣工后，应严格按照合同约定和法律规定进行验收，确保工程质量符合标准。
- 若发现工程质量问题，应及时与承包人沟通并协商解决方案，避免擅自使用工程导致后续纠纷。
- 若确需进行质量鉴定，应在工程未受干扰的状态下及时提出申请，并确保鉴定程序的合法性和公正性。
承包人角度：
- 在施工过程中应严格遵守施工规范和质量标准，确保工程质量符合合同约定。
- 若发包人擅自使用工程后提出质量鉴定请求，应积极配合鉴定工作，并提供必要的证据和资料以证明自身无责任或责任较小。
进一步思考：在实际操作中，法院是否支持质量鉴定请求还受到多种因素的影响，如鉴定机构的资质、鉴定程序的合法性、双方当事人的举证能力等。因此，在处理此类纠纷时，建议双方当事人充分咨询专业律师的意见，以便更好地维护自身权益。若您有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。