针对您提出的“父母生病需要急辞回家，但工厂要生病证明，医院可以给开吗”这一问题，以下是我的详细解答：
首先，医院是可以根据实际情况开具生病证明的。当您的父母生病需要照顾，且情况紧急到需要您立即回家时，您可以前往父母就诊的医院，向医生说明情况，请求开具相关的生病证明或诊断书。这份证明通常会包含患者的病情、需要休息或陪护的时间等信息，是证明您请假事由合理性的重要依据。
接下来，关于您提到的工厂要求提供生病证明的情况，这是工厂为了管理需要，确保员工请假的合理性和真实性而采取的一种措施。在您提供医院开具的生病证明后，工厂通常会根据您的请假申请和证明材料，结合公司的规章制度，来审批您的请假请求。
从法律和人情的角度来看：
法律层面：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者因特殊情况需要请假时，用人单位应当给予必要的理解和宽容。虽然法律没有明确规定必须提供生病证明，但工厂要求提供证明是为了维护公司的正常运营秩序和员工的合法权益，这一要求并不违法。
人情层面：父母生病需要照顾是人之常情，工厂在理解您紧急情况的同时，也希望您能按照公司的规章制度履行请假手续。提供生病证明是您履行请假手续的一部分，也是您对公司管理的一种尊重。
建议：
及时沟通：在得知父母生病需要照顾后，第一时间与工厂的人事部门或上级领导沟通，说明情况并提出请假申请。
准备证明材料：尽快前往医院开具生病证明或诊断书，并准备好其他可能需要的证明材料（如往返车票等）。
遵守公司规定：在请假期间，尽量通过线上方式协助处理工作事务，减少对公司运营的影响。同时，按照公司要求的时间节点返岗，并补办相关请假手续。
寻求法律援助：如果工厂在您提供证明材料后仍然拒绝批准请假或以此为由解除劳动合同，您可以寻求法律援助或向劳动仲裁机构申请仲裁，维护自己的合法权益。
总之，医院是可以开具生病证明的，您在遇到父母生病需要急辞回家的情况时，应及时与工厂沟通并提供相关证明材料，以维护自己的合法权益和公司的正常运营秩序。