结论：在羽毛球课未签合同且不给退费的情况下，能否退费主要取决于商家是否构成违约或存在欺诈行为，以及消费者是否能够提供相应的证据支持其退费请求。以下是从不同角度对此问题的详细分析：
一、合同关系与退费原则
合同关系的成立：
- 尽管未签订书面合同，但根据《民法典》的相关规定，当事人之间通过口头约定或其他形式形成的合同关系同样具有法律效力。因此，如果消费者与商家之间就羽毛球课程服务达成了口头协议，并支付了相应费用，那么双方之间即形成了合同关系。
退费原则：
- 在合同关系成立的前提下，如果商家未能按照约定提供服务，或者提供的服务不符合约定标准，消费者有权要求退费。这是基于合同法的公平原则和诚实信用原则。
二、商家行为分析
商家违约：
- 如果商家在收取费用后，未能按照约定提供羽毛球课程服务，或者提供的服务存在质量问题，如教练资质不符、教学设施不完善等，那么商家即构成违约。在此情况下，消费者有权要求商家退费，并可能要求商家承担违约责任。
商家欺诈：
- 如果商家在宣传或销售过程中存在欺诈行为，如虚假宣传课程效果、隐瞒重要信息等，导致消费者在不知情的情况下支付了费用，那么消费者不仅有权要求退费，还有权要求商家承担欺诈行为的法律责任。
三、消费者维权途径
协商解决：
- 消费者可以首先尝试与商家进行协商，说明自己的情况和退费请求，看是否能够达成和解。在协商过程中，消费者可以保留好相关证据，如支付凭证、聊天记录等，以备不时之需。
投诉举报：
- 如果协商无果，消费者可以向相关消费者权益保护机构或市场监管部门进行投诉举报。这些机构会对商家的行为进行调查，并根据调查结果采取相应的措施，如责令商家退费、罚款等。
法律诉讼：
- 如果以上途径均无法解决问题，消费者还可以考虑通过法律诉讼来维护自己的权益。在诉讼过程中，消费者需要提供充分的证据证明商家的违约或欺诈行为，以及自己的损失情况。法院会根据事实和法律规定作出判决，要求商家承担相应的法律责任。
四、建议与注意事项
保留证据：
- 消费者在支付费用前，应尽可能要求商家提供书面合同或收据等凭证，并保留好相关证据。在课程服务过程中，消费者也应保留好与商家的聊天记录、教学视频等证据，以备维权之需。
及时维权：
- 一旦发现商家存在违约或欺诈行为，消费者应及时采取措施进行维权。拖延时间可能会导致证据丢失或维权难度增加。
理性维权：
- 在维权过程中，消费者应保持理性态度，避免采取过激行为或言语攻击商家。通过合法途径进行维权，不仅能够更好地保护自己的权益，也能够维护社会的和谐稳定。
如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。作为专业律师，我将根据您的具体情况提供详细的法律建议和帮助。