结论：没有签署劳动合同且被用人单位无故开除的情况下，您可以向当地劳动监察部门投诉，也可以直接向劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，以索要劳务赔偿。

详细分析

1. 向劳动监察部门投诉

   • 法律依据：根据《劳动保障监察条例》的相关规定，劳动保障行政部门对用人单位遵守劳动保障法律、法规或者规章的情况进行监察，对违反劳动保障法律、法规或者规章的行为，有权予以纠正和处罚。
   • 操作流程：您可以携带相关证据（如工作证、工资条、考勤记录等，以证明您与用人单位存在事实劳动关系）到当地劳动监察部门进行投诉。劳动监察部门会依法进行调查，并根据调查结果对用人单位进行相应的处理，包括责令用人单位支付拖欠的工资、经济补偿金等。

2. 向劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁

   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》的规定，发生劳动争议，当事人不愿协商、协商不成或者达成和解协议后不履行的，可以向调解组织申请调解；不愿调解、调解不成或者达成调解协议后不履行的，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
   • 操作流程：
     • 准备材料：您需要准备仲裁申请书、身份证明、与用人单位存在劳动关系的证据（如工作证、工资条、考勤记录等）以及用人单位无故开除您的相关证据（如解雇通知、聊天记录等）。
     • 提交申请：将上述材料提交至当地劳动争议仲裁委员会，并按照仲裁委员会的要求填写相关表格。
     • 参与仲裁：仲裁委员会会依法进行审理，并作出裁决。如果用人单位不履行裁决，您还可以向人民法院申请强制执行。

3. 关于未签署劳动合同的赔偿

   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
   • 赔偿计算：如果您在用人单位工作的时间超过一个月且未签署劳动合同，那么您有权要求用人单位支付自用工之日起满一个月的次日至补订书面劳动合同的前一日期间的二倍工资。具体计算公式为：应支付的二倍工资差额 = 月工资 × (未签署劳动合同的月数 - 1)（注意，这里的月工资是指您在用人单位实际领取的工资，且计算月数时，第一个月不计入）。

后续建议

• 保留证据：在处理此类纠纷时，保留好与用人单位存在劳动关系的证据以及用人单位无故开除您的相关证据至关重要。
• 及时行动：一旦发现用人单位存在违法行为，应及时向相关部门投诉或申请仲裁，以免错过维权时机。
• 咨询专业律师：虽然我已经为您提供了一些基本的法律建议，但每个案件的具体情况都有所不同。如果您在处理过程中遇到任何疑问或困难，欢迎随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律指导。