结论：针对您描述的情况，即租房时签了合同但后续未续签，然而一直按时交房租，现在房东却要赶人，这涉及到租赁合同的续期、事实租赁关系以及房东解除租赁关系的合法性等多个法律问题。以下是从不同角度为您进行的分析：

1. 租赁合同续期问题：

   • 合同到期未续签但继续履行：根据《民法典》的相关规定，租赁期限届满，承租人继续使用租赁物，出租人没有提出异议的，，原租赁合同继续有效，但是租赁期限为不定期。这意味着，虽然您和房东没有续签书面合同，但如果您一直按时交房租，房东也接受了，那么你们之间就形成了不定期租赁关系。
   • 不定期租赁关系的解除：在不定期租赁关系中，任何一方都有权随时解除合同，但应当在合理期限之前通知对方。因此，如果房东想要解除租赁关系并赶您走，他应当提前通知您，并给予您合理的搬离时间。

2. 房东赶人的合法性：

   • 合法解除租赁关系：如果房东按照法律规定提前通知了您，并给予了合理的搬离时间，那么他赶您走的行为是合法的。在这种情况下，您应当配合房东，按时搬离租赁房屋。
   • 非法赶人：如果房东没有提前通知您，或者没有给予您合理的搬离时间，就强行赶您走，那么他的行为就是非法的。您有权拒绝搬离，并可以寻求法律帮助，维护自己的合法权益。

3. 您的权益保护：

   • 要求合理搬离时间：如果房东提出解除租赁关系，您可以要求他给予您合理的搬离时间，以便您有足够的时间找到新的住所并搬离。
   • 寻求法律帮助：如果房东的行为侵犯了您的合法权益，比如非法赶人、扣押您的财物等，您可以向当地公安机关报案，或者向法院提起诉讼，要求房东承担相应的法律责任。
   • 保留证据：在处理此类纠纷时，保留相关证据非常重要。您应当保留好房租支付凭证、与房东的沟通记录等证据，以便在需要时证明自己的权益。

建议行动：

• 首先，与房东进行沟通，了解他赶您走的具体原因和依据。如果房东是合法解除租赁关系，那么您应当配合他，按时搬离。
• 如果房东的行为存在非法之处，比如没有提前通知或者没有给予合理搬离时间，那么您可以拒绝搬离，并寻求法律帮助。
• 在处理此类纠纷时，务必保留好相关证据，以便在需要时证明自己的权益。

如果您在处理此类问题时遇到任何困难或疑问，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。