在司法实践中，原被告双方以不同依据申请司法鉴定时，是可以委托不同鉴定机构的。以下从多个角度对此问题进行详细分析：

一、法律依据与原则

1. 鉴定机构的选择权：根据相关法律法规，当事人有权选择鉴定机构进行司法鉴定。这意味着，无论是原告还是被告，都有权根据自己的需求和依据，选择认为合适的鉴定机构进行鉴定。
2. 鉴定机构的独立性：鉴定机构应当保持独立性，不受任何一方当事人的影响或控制。因此，原被告双方选择不同的鉴定机构进行鉴定，并不违反鉴定机构的独立性原则。

二、实际操作中的考虑

1. 鉴定事项的差异性：如果原被告双方申请的鉴定事项存在明显差异，或者基于不同的法律依据和事实基础，那么选择不同的鉴定机构进行鉴定是合理的。例如，原告可能基于合同条款申请对合同履行情况进行鉴定，而被告可能基于侵权事实申请对损害后果进行鉴定。
2. 鉴定效率与成本：在某些情况下，为了节省时间和成本，原被告双方可能会协商选择同一家鉴定机构进行鉴定。然而，这并不是强制性的。如果双方无法达成一致，或者认为选择不同鉴定机构更有利于各自权益的保障，那么选择不同鉴定机构也是可行的。

三、可能面临的挑战与应对

1. 鉴定结论的冲突：如果原被告双方选择的鉴定机构得出的鉴定结论存在冲突，这可能会给案件的审理带来一定的复杂性。在这种情况下，法院可能会根据案件的具体情况，综合考虑双方提交的证据和鉴定结论，作出更为公正、合理的裁决。
2. 鉴定机构的资质与信誉：在选择鉴定机构时，原被告双方应当注重鉴定机构的资质和信誉。选择具有合法资质、良好信誉的鉴定机构进行鉴定，可以确保鉴定结论的准确性和可靠性，从而更好地维护各自的合法权益。

四、建议与注意事项

1. 提前沟通与协商：在申请司法鉴定前，原被告双方可以尝试进行沟通与协商，就鉴定机构的选择、鉴定事项的范围等问题达成一致意见。这有助于减少后续可能出现的争议和冲突。
2. 充分了解鉴定机构信息：在选择鉴定机构时，原被告双方应当充分了解鉴定机构的资质、信誉、业务范围等信息。可以通过查询相关官方网站、咨询专业人士等方式获取这些信息，以确保选择的鉴定机构符合案件需求。

综上所述，原被告双方以不同依据申请司法鉴定时，是可以委托不同鉴定机构的。在实际操作中，双方应当根据案件的具体情况和需求，合理选择鉴定机构，并注重鉴定机构的资质和信誉。如果遇到任何法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。