对申请法院鉴定，原、被告双方共同选定的鉴定机构的鉴定意见，当事人仍然可以提出以下异议：
鉴定程序违法：
- 若鉴定机构在鉴定过程中未遵循法定程序，如未通知当事人到场、未进行必要的勘验或检查等，当事人可以对此提出异议。例如，在医疗纠纷鉴定中，如果鉴定机构未对病历资料进行全面审查，或者未听取医患双方的陈述，就可能构成程序违法。
鉴定依据不足：
- 鉴定意见应当基于充分的鉴定材料和科学的鉴定方法。如果当事人认为鉴定机构所依据的鉴定材料不完整、不真实，或者鉴定方法不科学、不合理，导致鉴定意见缺乏依据，可以提出异议。比如，在工伤赔偿鉴定中，如果鉴定机构仅依据部分病历资料就作出伤残等级评定，而忽略了其他关键证据，就可能引发异议。
鉴定结论与事实不符：
- 当事人如果认为鉴定意见与案件事实明显不符，或者鉴定结论存在明显错误，也可以提出异议。这通常需要当事人提供相反的证据或理由来支持其观点。例如，在离婚财产分割纠纷中，如果鉴定机构对房产价值的评估明显高于市场价，且没有合理的解释或依据，当事人就可以对此提出异议。
鉴定人资质或行为问题：
- 如果当事人发现鉴定人存在资质不符、与案件有利害关系、收受贿赂等违法行为，或者鉴定人在鉴定过程中存在偏袒一方、不公正等行为，也可以提出异议。这些行为都可能影响鉴定意见的公正性和准确性。
鉴定意见表述不清或存在歧义：
- 鉴定意见应当表述清晰、准确，避免产生歧义。如果当事人认为鉴定意见的表述存在模糊不清、含糊其辞或者存在多种解释的情况，也可以提出异议，要求鉴定机构进行澄清或补充说明。
在提出异议时，当事人应当注意以下几点：
- 及时提出：当事人应当在收到鉴定意见后的一定期限内（通常为法院指定的期限）提出异议，逾期可能视为放弃异议权。
- 提供证据：当事人在提出异议时，应当尽可能提供相关的证据或理由来支持其观点，以便法院能够全面、客观地审查鉴定意见。
- 遵循程序：当事人应当按照法院指定的程序和方式提出异议，如提交书面异议书、参加听证会等。
如果当事人对鉴定意见提出异议后，法院会如何处理：
- 法院会组织双方当事人对异议进行质证和辩论，必要时可以要求鉴定机构出庭说明情况或进行补充鉴定。
- 如果法院认为异议成立，可能会要求鉴定机构重新鉴定或者委托其他鉴定机构进行鉴定。
- 如果法院认为异议不成立，则会维持原鉴定意见的效力，并作为案件裁判的依据之一。
最后需要强调的是，鉴定意见在诉讼中具有重要的证据作用，但并非绝对不可推翻。当事人如果对鉴定意见有异议，应当积极行使自己的诉讼权利，通过合法途径提出异议并寻求救济。如果你在处理相关案件时遇到具体问题，可以直接向我咨询，我会结合你的具体情况给出更详细的法律建议。