结论前置：员工待岗后自行离职，新单位一般不可以追究责任，但具体还需根据离职员工是否给原单位造成损失、是否违反竞业限制或保密协议等情形来判断。

详细分析：

1. 一般情况下的责任追究：

   • 员工待岗后自行离职，通常属于员工与原单位之间劳动关系的解除。在一般情况下，员工离职并不直接涉及新单位的责任问题。新单位在招聘员工时，主要关注的是员工的能力、经验以及是否符合招聘条件，而非员工与原单位之间的劳动关系状态。
   • 除非新单位在招聘过程中存在过错，如明知员工与原单位存在未解决的劳动纠纷仍予以录用，且因此给原单位造成损失的，新单位才可能承担一定的赔偿责任。但这种情况较为少见，且需要原单位提供充分的证据来证明新单位的过错和损失。

2. 特殊情况下的责任追究：

   • 竞业限制与保密协议：如果员工在原单位签订了竞业限制协议或保密协议，并在离职后违反了这些协议，给原单位造成了损失，那么原单位有权追究员工的法律责任。虽然这并不直接涉及新单位的责任，但如果新单位在明知员工违反竞业限制或保密协议的情况下仍予以录用，并因此获得了不正当利益，那么新单位也可能被卷入法律纠纷中。
   • 员工给原单位造成损失：如果员工在离职前因故意或重大过失给原单位造成了损失，如泄露商业秘密、损坏公司财物等，原单位有权要求员工赔偿损失。在这种情况下，新单位通常不直接承担责任，但如果新单位在录用员工时未尽到合理的审查义务，如未对员工的工作经历、离职原因等进行充分了解，也可能在一定程度上承担连带责任（但这种情况较为罕见，且需要具体证据支持）。

3. 法律建议：

   • 对于新单位而言，在招聘员工时，应尽到合理的审查义务，了解员工的工作经历、离职原因等，以避免因录用不当而卷入法律纠纷。
   • 对于员工而言，在离职前应妥善处理与原单位的劳动关系，遵守竞业限制和保密协议等约定，以避免给原单位造成损失并引发法律纠纷。
   • 如果员工与原单位之间存在劳动纠纷，建议通过协商、调解、仲裁或诉讼等合法途径解决，避免采取自行离职等可能引发更多法律问题的行为。

总结：员工待岗后自行离职，新单位一般不可以追究责任。但在特殊情况下，如员工违反竞业限制或保密协议、给原单位造成损失等，新单位可能因录用不当而卷入法律纠纷。因此，新单位在招聘员工时应尽到合理的审查义务，员工在离职前也应妥善处理与原单位的劳动关系。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。