在骑手送餐过程中摔伤并导致私人财产损失的情况下，赔偿责任的承担需根据具体情况来判定，以下分情况讨论：
骑手因自身原因摔伤并造成财产损失
- 如果骑手是因为自己的疏忽或操作不当（如未注意路况、骑车速度过快等）导致摔伤，并且这一过程中造成了私人财产的损失，那么通常情况下，骑手需要承担相应的赔偿责任。这是因为骑手作为行为人，应当对自己的行为后果负责。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。
骑手因第三方原因摔伤并造成财产损失
- 如果骑手摔伤是由于第三方（如其他车辆、行人等）的过错导致的，并且这一过程中造成了私人财产的损失，那么赔偿责任应当由第三方承担。骑手在此情况下可以作为受害者，向第三方主张赔偿。
- 法律依据：同样依据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的规定，如果损害是由第三人造成的，第三人应当承担侵权责任。
骑手在执行工作任务过程中摔伤并造成财产损失
- 如果骑手是在执行送餐工作任务的过程中摔伤，并且这一过程中造成了私人财产的损失，那么情况会相对复杂。此时，需要考虑骑手与雇主（如外卖平台或餐饮公司）之间的劳动关系以及雇主对骑手的管理和监督责任。
- 如果雇主存在过错（如未提供安全的交通工具、未对骑手进行必要的安全培训等），则雇主可能需要承担相应的赔偿责任。
- 如果雇主无过错，但骑手的行为属于执行工作任务过程中的正常风险，那么根据《中华人民共和国民法典》中关于用人单位责任的规定，用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。不过，这并不意味着骑手个人完全免责，特别是在骑手存在重大过失或故意的情况下。
- 特殊情况：如果骑手与雇主之间属于劳务关系而非劳动关系，且骑手在提供劳务过程中因自身原因造成他人损害，那么根据《中华人民共和国民法典》中关于个人之间形成劳务关系的规定，接受劳务一方（雇主）在承担侵权责任后，可以向有故意或者重大过失的提供劳务一方（骑手）追偿。
建议与后续行动：
- 对于受损的私人财产所有者来说，首先应当收集并保留相关证据（如现场照片、视频、证人证言等），以便在需要时证明损失的存在和程度。
- 其次，可以尝试与骑手或其雇主进行协商，看是否能够达成赔偿协议。
- 如果协商无果，可以考虑通过法律途径解决纠纷，如向法院提起诉讼或向相关调解机构申请调解。
最后需要强调的是，每个案件的具体情况都有所不同，因此在处理此类纠纷时，最好咨询专业律师以获取更具体和个性化的法律建议。如果你有任何法律问题，都可以直接向我咨询，我会尽我所能为你提供帮助。