结论：美甲店用人单位没签合同开除员工，一般情况下是需要赔偿的，具体赔偿情况需根据实际工作时长、工资水平以及开除原因等因素综合判断。
分析说明：
未签订劳动合同的法律责任：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果美甲店在员工入职后一个月内未签订劳动合同，那么从第二个月开始，就需要向员工支付双倍工资。
违法解除劳动合同的赔偿：
- 如果美甲店在没有合法理由的情况下开除员工，即违法解除劳动合同，那么根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位应当向劳动者支付赔偿金。赔偿金的标准是按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。这里的“月工资”是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
未签订合同与违法解除的叠加赔偿：
- 在美甲店未签订劳动合同且违法解除劳动合同的情况下，员工有权同时主张未签订劳动合同的双倍工资差额和违法解除劳动合同的赔偿金。但需要注意的是，双倍工资差额的计算期间通常是从入职后的第二个月开始至签订劳动合同前一日或劳动关系终止前一日，而赔偿金则是根据实际工作年限和月工资来计算。
特殊情况说明：
- 如果美甲店能够证明员工存在严重违反公司规章制度、严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害等合法解除劳动合同的情形，那么可能不需要支付赔偿金。但即便如此，如果未签订劳动合同，仍然需要支付双倍工资差额。
行动建议：
- 如果您作为员工遇到这种情况，建议首先与美甲店进行协商，要求支付未签订劳动合同的双倍工资差额和违法解除劳动合同的赔偿金。
- 如果协商无果，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
- 在申请劳动仲裁前，建议您收集好相关证据，如工作证、工资条、考勤记录等，以证明您与美甲店存在劳动关系以及您的实际工作时长和工资水平。
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