可以申请劳动仲裁。针对您上班两个多月没签合同被开除的情况，以下是从不同角度的详细分析：
一、法律背景与依据
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。同时，如果用人单位违法解除劳动合同，劳动者还有权要求用人单位支付赔偿金。
二、具体法律分析
未签劳动合同的双倍工资：
- 您已经上班两个多月，但用人单位未与您签订书面劳动合同。根据法律规定，用人单位应当向您支付自用工之日起满一个月的次日至补订书面劳动合同前一日的双倍工资。
违法解除劳动合同的赔偿金：
- 如果用人单位没有合法理由就开除了您，那么这属于违法解除劳动合同。根据法律规定，用人单位应当按照经济补偿标准的二倍向您支付赔偿金。经济补偿的标准是按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。由于您工作了两个多月，因此经济补偿应为半个月工资，赔偿金则为一个月工资。
三、申请劳动仲裁的流程与建议
准备证据：
- 在申请劳动仲裁前，您需要准备一些证据来证明您与用人单位存在劳动关系，以及用人单位未与您签订书面劳动合同和违法解除劳动合同的事实。这些证据可以包括工资条、工作证、考勤记录、同事证言等。
提交仲裁申请：
- 您可以向当地的劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请，并附上相关证据。仲裁委员会在收到申请后，会进行审查并决定是否受理。
参与仲裁程序：
- 如果仲裁委员会受理了您的申请，那么您需要按照仲裁程序的要求参与仲裁。这包括参加仲裁庭的审理、提交证据、进行辩论等。
执行仲裁裁决：
- 如果仲裁委员会作出了有利于您的裁决，那么用人单位需要按照裁决的要求向您支付双倍工资和赔偿金。如果用人单位不履行裁决，您还可以向法院申请强制执行。
四、注意事项与风险提示
- 在申请劳动仲裁前，建议您先与用人单位进行协商，看是否能够达成和解。如果协商无果，再考虑申请劳动仲裁。
- 申请劳动仲裁需要一定的时间和精力，而且结果也存在不确定性。因此，在申请前请做好充分的准备和评估。
- 如果您对劳动仲裁程序不熟悉或者担心自己的权益得不到保障，可以寻求专业律师的帮助。
最后，如果您在劳动仲裁过程中遇到任何问题或者需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我会根据您的具体情况提供针对性的法律建议和帮助。