结论前置：即使没有签订书面劳动合同，劳动者在被开除的情况下仍然可以申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。
一、法律依据与劳动关系确认
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条，建立劳动关系应当订立书面劳动合同。但未同时订立的，应在用工之日起一个月内订立。超过一个月不满一年未订立的，用人单位需支付二倍工资；满一年未订立的，视为无固定期限劳动合同。
- 《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第二条明确规定，因确认劳动关系、劳动合同的订立、履行、变更、解除和终止等发生的争议，均适用该法。这意味着，即使没有书面劳动合同，只要存在事实劳动关系，劳动者就有权申请劳动仲裁。
劳动关系确认：
- 在没有书面劳动合同的情况下，劳动者需要提供其他证据来证明与用人单位之间存在劳动关系。这些证据可以包括工资支付凭证或记录、工作证、服务证、招用记录、考勤记录以及其他劳动者的证言等。
二、申请劳动仲裁的条件与准备
申请条件：
- 劳动者与用人单位之间存在劳动争议，包括因开除、除名、辞退等发生的争议。
- 劳动者已收集到足够的证据证明与用人单位之间存在劳动关系以及被开除的事实。
仲裁前准备：
- 收集证据：除了上述提到的证明劳动关系的证据外，还需要收集被开除的证据，如辞退通知、与单位领导的谈话录音、工作交接记录等。
- 确定仲裁机构：通常为公司注册地或劳动合同履行地的劳动仲裁委员会。
- 填写仲裁申请书：明确申请人和被申请人信息、仲裁请求（如要求支付违法解除劳动合同的赔偿金、双倍工资差额等）、事实和理由。
三、仲裁程序与可能获得的赔偿
仲裁程序：
- 劳动者向劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请书及副本。
- 仲裁委员会在五日内审查并决定是否受理，通知申请人。
- 开庭前五日通知双方当事人开庭日期、地点。
- 双方进行陈述、辩论，提供证据。
- 仲裁庭根据事实和法律作出裁决，一般在受理之日起四十五日内结束审理，复杂案件可延期十五日。
可能获得的赔偿：
- 双倍工资差额：用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未签订劳动合同的，需支付双倍工资差额，最多支付十一个月。计算公式为：月工资×未签订劳动合同的月数（最多11个月）。
- 经济赔偿金：若用人单位违法解除劳动合同，需按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。经济补偿按劳动者在本单位工作年限计算，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。计算公式为：月工资×工作年限×2（违法解除的情况下）。
- 补缴社会保险：若用人单位未依法为劳动者缴纳社会保险，劳动者还可要求补缴在职期间的社会保险。
四、实际案例与建议
- 实际案例：曾有一位劳动者在没有签订书面劳动合同的情况下被用人单位开除，他收集了工资发放记录、工作证、同事证言等证据，成功申请了劳动仲裁，并获得了双倍工资差额和经济赔偿金。
- 建议：劳动者在面临被开除的情况时，应保持冷静，尽快收集相关证据，并了解当地劳动争议仲裁委员会的受理范围和管辖范围。同时，也可以寻求法律援助或咨询专业律师（即我本人，黄祖军律师，专注于婚姻家庭、劳动纠纷领域），以更好地维护自己的合法权益。
综上所述，即使没有签订书面劳动合同，劳动者在被开除的情况下仍然有权申请劳动仲裁，并可能获得相应的赔偿与补偿。因此，劳动者应充分了解自己的权益，积极通过法律途径维护自身合法权益。