结论：子女若想通过协议获得私房一半产权份额，需确保协议内容合法、明确，并考虑是否需要母亲的授权或参与，具体取决于房屋的产权归属情况。
一、协议内容要点
明确产权归属：
- 首先，需要确认该私房的产权归属。如果房屋是父亲和母亲的共同财产，那么在父亲去世后，其份额将按照法定继承或遗嘱继承进行分配。
- 如果房屋仅登记在父亲名下，但属于夫妻共同财产（即婚后购买），则母亲同样享有份额。
- 若房屋为父亲个人财产（如婚前购买且无特别约定），则父亲去世后，其份额由法定继承人或遗嘱继承人继承。
协议条款设计：
- 协议中应明确房屋的当前产权状况，包括各共有人的份额。
- 子女提出要一半产权份额，需在协议中明确这一诉求，并说明是基于何种法律关系或约定（如继承、赠与等）。
- 协议应包含房屋的具体信息（如地址、面积、产权证号等）。
- 协议中应规定各方的权利和义务，包括但不限于产权转移的时间、方式、税费承担等。
法律合规性：
- 协议内容必须符合法律法规的规定，不得违反公序良俗。
- 协议应明确各方在签署时的真实意愿，不存在欺诈、胁迫等情形。
二、是否需要母亲授权书
如果房屋为父母共同财产：
- 母亲作为共有人，其意见至关重要。如果子女希望获得房屋的一半产权份额，可能需要母亲的同意或参与协议的签署。
- 在这种情况下，母亲的授权书或同意书可能是必要的，以确保协议的合法性和有效性。
如果房屋为父亲个人财产：
- 母亲虽然不直接享有产权，但作为法定继承人之一，她有权继承父亲的份额。
- 如果子女希望获得超过其法定继承份额的产权，可能需要与母亲及其他继承人协商并达成一致。
- 在这种情况下，虽然不需要母亲的“授权书”，但可能需要她的同意或签署相关协议。
三、实际操作建议
咨询专业律师：在起草和签署协议前，建议咨询专业律师，以确保协议的合法性和有效性。虽然我无法直接提供联系方式，但您可以直接向我提问，我会根据您的具体情况给出法律建议。
明确各方意愿：在签署协议前，确保所有相关方（包括母亲和其他继承人）都明确了解协议内容，并表示同意。
办理产权变更手续：协议签署后，应按照相关规定办理产权变更手续，包括但不限于提交申请、缴纳税费、办理过户等。
四、可能的风险与后果
协议无效风险：如果协议内容违反法律法规或公序良俗，或者存在欺诈、胁迫等情形，可能导致协议无效。
继承纠纷风险：如果未妥善处理继承问题，可能导致家庭成员之间的纠纷和诉讼。
产权转移障碍：如果未按照相关规定办理产权变更手续，可能导致产权无法顺利转移。
因此，在起草和签署协议时，务必谨慎对待每一个环节，确保协议的合法性和有效性。如果您有任何疑问或需要进一步的法律建议，请直接向我提问。