结论前置：不可以随意开除，即使未签合同，用人单位开除员工也需遵循法定程序和理由，否则可能构成违法解除。以下是具体分析：

1. 未签合同≠可随意开除

根据《劳动合同法》第十条，建立劳动关系应当订立书面劳动合同，但未签合同并不意味着用人单位可以随意解除劳动关系。即使未签合同，双方已形成事实劳动关系，用人单位仍需遵守《劳动合同法》中关于解除劳动合同的规定。

2. 合法解除劳动关系的条件

用人单位若要解除劳动关系，必须符合以下法定情形之一：

• 协商一致解除：与劳动者协商一致；
• 过错性解除：劳动者存在严重违反规章制度、严重失职、被依法追究刑事责任等情形；
• 非过错性解除：如劳动者患病或非因工负伤医疗期满后不能从事原工作、不能胜任工作等，但需提前30日书面通知或支付代通知金；
• 经济性裁员：需符合法定程序（如提前说明、听取意见、报告劳动部门等）。

若用人单位无法证明解除行为符合上述情形，则属于违法解除，需支付赔偿金（标准为经济补偿金的2倍，经济补偿金按工作年限计算，每满1年支付1个月工资）。

3. 未签合同的双倍工资风险

此外，根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过1个月不满1年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付2倍的工资（最多11个月）。因此，即使您只工作半个月，若后续未补签合同，用人单位仍可能面临支付双倍工资的风险。

4. 您的权利与应对建议

• 保留证据：如工资条、考勤记录、工作证、同事证言等，证明劳动关系存在；
• 协商或投诉：可与用人单位协商解决，或向当地劳动监察大队投诉；
• 申请仲裁：若协商无果，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，主张违法解除赔偿金及未签合同的双倍工资差额。

总结：未签合同不赋予用人单位随意开除的权利，解除劳动关系必须合法。建议您及时收集证据，通过协商、投诉或仲裁维护自身权益。如有进一步疑问，可直接向我咨询。