邻居偷您家鸡，您完全可以并且应该立即报警。这是基于法律对公民个人合法财产的保护，以及维护社会秩序和法治精神的考虑。以下是从不同角度对这一问题的详细分析：

一、法律性质与依据

1. 财产权保护：鸡作为家禽，属于您的个人合法财产。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，任何组织或个人都不得侵占、哄抢或破坏他人的合法财产。因此，邻居偷您的鸡，即构成了对您财产权的侵害。

2. 盗窃行为的违法性：偷鸡行为不仅违反道德，更触犯法律。根据《中华人民共和国治安管理处罚法》，盗窃公私财物将面临五日以上十日以下拘留，并可处五百元以下罚款；情节较重的，处罚更重。若被盗的鸡价值达到当地规定的盗窃罪立案标准（通常为一千元至三千元以上，具体标准因地区而异），则将按照《中华人民共和国刑法》中的盗窃罪进行处理，偷鸡者可能面临有期徒刑、拘役、管制及罚金等刑事处罚。

二、报警的必要性

1. 维护自身财产权益：报警能够启动法律程序，为找回被盗财物或获得相应赔偿提供可能。警方会介入调查，若成功找回被盗的鸡，可直接挽回您的财产损失；即使鸡已被处理无法找回，抓到小偷后，您也有权通过法律途径要求小偷进行赔偿。

2. 打击违法犯罪行为：报警后，警方会展开全面的侦查工作，收集证据，锁定犯罪嫌疑人，并对违法犯罪行为进行严厉打击。这不仅能维护您的个人权益，还能维护社会的治安秩序和法治环境。

3. 预防类似事件再次发生：警方在处理偷鸡案件的过程中，会对周边潜在的违法犯罪分子产生威慑作用，降低该地区再次发生类似盗窃事件的可能性。同时，警方还会根据案件情况，为您提供防范建议，如加强家禽圈养设施的安全性、安装监控设备等。

三、报警时的注意事项

1. 提供详细信息：在报警时，应尽可能详细地描述被盗鸡的数量、特征（如颜色、品种、标记等）、丢失的具体时间和地点等信息。这些细节对于警方快速锁定线索、展开调查至关重要。

2. 配合警方调查：报警后，应积极配合警方的调查工作，如实陈述事实，提供可能的目击者或可疑线索。这有助于警方更快地侦破案件，追回被盗财物。

3. 保留证据：在发现鸡被盗后，应尽量保护现场，不随意破坏或移动可能留下的证据（如脚印、指纹、监控录像等）。这些证据对于案件的侦破和定罪量刑具有重要意义。

四、可能的法律后果

1. 若小偷被抓到：根据被盗鸡的价值和情节严重程度，小偷可能面临治安处罚或刑事处罚。若您要求赔偿，小偷还需承担相应的民事赔偿责任。

2. 若未抓到小偷：虽然可能暂时无法追回被盗财物或获得赔偿，但报警后警方会展开调查，并可能根据后续线索追回失物或抓住小偷。同时，您的报警行为也对潜在犯罪分子形成了威慑。

总结：邻居偷您家鸡，您完全可以并且应该立即报警。这是维护自身财产权益、打击违法犯罪行为、预防类似事件再次发生的必要举措。在报警时，请提供详细信息、配合警方调查、保留证据。若您有任何法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。