针对您提出的“第一次劳动合同到期，公司违法解除，是否可以要求续签”的问题，以下是我为您提供的详细解答：

一、法律依据

根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，劳动者有权要求继续履行劳动合同。这意味着，如果公司违法解除了与您的劳动合同，您是有法律依据要求公司继续履行合同的，包括续签劳动合同。

二、判断公司解除是否违法

要确定公司解除劳动合同是否违法，您需要回顾公司解除合同的理由和程序。如果公司没有正当理由，或者不符合法定解除情形（如您不存在严重违反规章制度、不能胜任工作等过错），而随意解除了与您的劳动合同，那么这就属于违法解除。

三、劳动者主张继续履行的步骤

1. 及时提出要求：一旦发现公司违法解除了劳动合同，您应当及时向公司提出继续履行劳动合同的要求，最好通过书面方式留存证据。

2. 准备相关材料：您需要积极准备证明劳动合同可以继续履行的相关材料，如您的工作能力证明、岗位需求说明等。

3. 通过法律途径维权：如果公司拒绝继续履行劳动合同，您可以通过劳动仲裁或诉讼等法律途径来维护自己的权益，要求强制公司继续履行。

四、用人单位的责任

一旦您主张继续履行劳动合同，用人单位有义务按照法律规定继续履行。如果用人单位拒绝，您可以通过上述法律途径要求其承担责任。在劳动仲裁或诉讼过程中，您需要提供充分证据证明公司违法解除及继续履行的必要性。

五、实际操作要点

• 收集证据：包括劳动合同、解除通知、工作表现证明等，以证明公司违法解除和您的工作能力。
• 咨询专业人士：在维权过程中，您可以咨询律师或劳动仲裁机构的专业人士，以获取更专业的建议和帮助。
• 保持冷静和理性：在维权过程中，保持冷静和理性是非常重要的，避免因情绪激动而做出不利于自己的行为。

综上所述，如果公司违法解除了与您的劳动合同，您是有法律依据要求公司继续履行合同的，包括续签劳动合同。在维权过程中，您需要积极准备相关材料，通过法律途径来维护自己的权益。希望这些解答能对您有所帮助。