结论前置：针对男方出轨与人同居且不履行抚养义务的情况，可通过以下两种法律途径维权：

1. 以“遗弃家庭成员”为由起诉，主张损害赔偿
   根据《民法典》第1091条，若男方与他人同居且长期不支付抚养费，可认定为“与其他异性同居”的过错行为。同时，若其拒绝抚养子女导致子女生活困难，可能构成“遗弃家庭成员”。此时，您作为无过错方，可在离婚诉讼中主张离婚损害赔偿（包括物质赔偿和精神赔偿），并要求其承担未直接抚养子女的抚养费。
   关键证据：男方与他人同居的证据（如聊天记录、照片、证人证言）、未支付抚养费的转账记录或书面承诺、子女生活困难的证明（如学校缴费单、医疗费用单据）。

2. 单独提起“抚养费纠纷”诉讼，要求支付拖欠费用及未来抚养费
   根据《民法典》第1067条，父母不履行抚养义务的，未成年子女或不能独立生活的成年子女有权要求其支付抚养费。即使未离婚，您也可作为子女的法定代理人，以子女名义起诉男方，要求其支付已拖欠的抚养费（按当地人均消费支出计算）及未来至子女18周岁的抚养费（通常按男方收入的20%-30%比例，结合子女实际需求确定）。
   关键证据：子女的出生证明、户口本、男方收入证明（如工资流水、纳税记录）、已发生的抚养费用单据（如教育费、医疗费）。

补充说明：

• 若男方拒不执行法院判决，可申请强制执行，法院可冻结其银行账户、查封财产，甚至将其列入失信被执行人名单。
  
• 若男方行为涉嫌重婚（与他人以夫妻名义同居），可向公安机关报案，追究其刑事责任（处2年以下有期徒刑或拘役），但需提供充分证据（如同居社区证明、共同生活照片等）。
  

行动建议：

1. 立即收集男方出轨、同居及未支付抚养费的证据；
   
2. 咨询律师起草起诉状，明确诉讼请求（如离婚+损害赔偿+抚养费，或单独抚养费纠纷）；
   
3. 向法院提交证据，申请财产保全（防止男方转移财产）。
   

如有进一步细节需分析（如证据收集难点、男方收入情况等），可直接向我提问。