结论：公司以此为由解除劳动关系是否合法需分情况判断，关键在于员工行为是否构成“严重违反公司规章制度”或“严重失职、营利私利给公司造成重大损害”。
核心前提与法律逻辑
员工出差多开住宿发票的行为，可能涉及虚开发票（违反《发票管理办法》）、侵占公司财产（违反《劳动合同法》第三十九条）或违反公司财务制度。公司解除劳动关系的合法性，需结合以下因素判断：
1. 若员工行为构成“严重违反公司规章制度”
- 合法解除的条件：
公司需证明：
- 已制定明确的财务报销制度（如禁止虚开发票、多开发票），且制度内容合法合理；
- 制度已通过民主程序（如职工代表大会）制定并公示，或已告知员工；
- 员工多开发票的行为属于制度中明确规定的“严重违纪”情形（如“虚报费用超过一定金额”）；
- 公司解除程序合法（如提前通知工会、听取员工申辩）。
- 示例：
若公司制度规定“虚开发票或故意多报费用超过500元视为严重违纪”，员工出差时将实际300元的住宿费开为800元，公司可依法解除合同。
2. 若员工行为构成“严重失职、营利私利给公司造成重大损害”
- 合法解除的条件：
公司需证明：
- 员工多开发票的行为存在主观故意（如为个人套取现金）；
- 行为导致公司实际损失（如多报销的500元已支付给员工）；
- 损失达到“重大”标准（司法实践中一般需超过当地月最低工资标准的一定倍数，或公司制度中明确量化标准）。
- 示例：
员工长期通过多开发票套取差旅费，累计金额达2万元，公司可主张其“营利私利造成重大损害”，合法解除合同。
3. 若公司无法证明上述情形，则解除可能违法
- 违法解除的后果：
根据《劳动合同法》第四十八条，员工可要求：
- 继续履行劳动合同；
- 或要求公司支付赔偿金（2N，N为工作年限对应的月工资）。
- 示例：
公司仅以“员工多开发票违反诚信”为由解除，但未提供制度依据或损失证明，可能被认定为违法解除。
实务建议
- 对员工：
- 保留与公司的沟通记录（如邮件、聊天记录），证明多开发票是否经公司同意；
- 若公司违法解除，可申请劳动仲裁主张赔偿。
- 对公司：
- 完善财务制度，明确虚开发票的后果及“重大损害”标准；
- 解除前固定证据（如员工签字确认的报销单、审计报告）。
如有具体案情（如多开金额、公司制度内容），可进一步向我咨询，我会结合细节分析合法性。