在判处职业禁止后，若相关行政机关未作出处罚，检察机关在符合法定条件的情况下可以提起公益诉讼。以下从不同角度对此问题进行分析：

一、检察机关提起公益诉讼的法律依据

根据《中华人民共和国民事诉讼法》及《中华人民共和国行政诉讼法》的相关规定，检察机关在发现行政机关违法行使职权或者不作为，致使国家利益或者社会公共利益受到侵害的，有权向人民法院提起诉讼。在判处职业禁止的情境下，若相关行政机关未依法对被禁止从事相关职业的人员进行处罚或监管，导致公共利益受损，检察机关便有权依据上述法律提起公益诉讼。

二、检察机关提起公益诉讼的条件

1. 存在违法行为或不作为：

   • 行政机关未对被判处职业禁止的人员进行处罚或监管，构成不作为。
   • 若行政机关的处罚或监管措施存在违法情形，如处罚过轻、监管不力等，也构成违法行为。

2. 公共利益受损：

   • 职业禁止的目的是保护公共利益，防止特定人员再次从事可能危害社会的职业。
   • 若行政机关未履行职责，导致被禁止人员继续从事相关职业，可能对社会造成危害，从而损害公共利益。

3. 检察机关已履行诉前程序：

   • 在提起公益诉讼前，检察机关通常需向行政机关发出检察建议，督促其履行职责。
   • 若行政机关在规定期限内未纠正违法行为或不作为，检察机关方可提起诉讼。

三、检察机关提起公益诉讼的后果

1. 督促行政机关履行职责：

   • 公益诉讼的提起可以促使行政机关重视其职责，及时对被判处职业禁止的人员进行处罚或监管。

2. 维护公共利益：

   • 通过公益诉讼，可以防止被禁止人员继续从事可能危害社会的职业，从而维护公共利益。

3. 提升司法公信力：

   • 检察机关依法提起公益诉讼，体现了司法机关对公共利益的关注和保护，有助于提升司法公信力。

四、实际操作中的注意事项

1. 证据收集：

   • 检察机关在提起公益诉讼前，需充分收集证据，证明行政机关存在违法行为或不作为，以及公共利益受损的事实。

2. 诉前程序：

   • 检察机关应依法履行诉前程序，向行政机关发出检察建议，并给予其合理的纠正期限。

3. 诉讼策略：

   • 检察机关在提起公益诉讼时，应制定合理的诉讼策略，包括诉讼请求、事实理由、法律依据等，以确保诉讼的顺利进行。

建议：若遇到此类情况，检察机关应依法履行职责，对行政机关的违法行为或不作为进行监督，并在符合法定条件的情况下提起公益诉讼。同时，相关行政机关也应积极履行职责，防止被禁止人员继续从事可能危害社会的职业，以维护公共利益。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。