行政机关不行使处罚权时，一般不能直接通过公益诉讼进行监督，但存在特定情形下的间接监督路径。具体分析如下：

1. 行政机关处罚权与公益诉讼的直接关联性
   根据《行政诉讼法》及《公益诉讼司法解释》，公益诉讼的监督对象主要是行政机关的不作为或违法行使职权行为，但需满足“损害社会公共利益”这一核心要件。若行政机关完全未行使处罚权（如对违法行为放任不管），且该不作为导致公共利益受损（如环境污染、食品安全等），检察机关可依法提起行政公益诉讼，要求行政机关履行职责。但需注意：

   • 公益诉讼的目的是督促行政机关履职，而非直接替代行政机关行使处罚权；
     
   • 行政机关的处罚权属于行政权范畴，司法机关（包括检察机关）无权直接代为行使。

2. 公益诉讼监督的间接路径
   当行政机关不行使处罚权时，公益诉讼的监督作用主要体现在以下层面：

   • 诉前程序：检察机关可先向行政机关提出检察建议，要求其依法履行处罚职责。若行政机关拒不整改，检察机关可提起诉讼；
     
   • 诉讼结果：法院判决可确认行政机关不作为违法，并责令其限期履行处罚职责。但处罚的具体实施仍需由行政机关完成，法院不会直接作出处罚决定；
     
   • 特殊情形：若行政机关的处罚权被撤销或转移（如机构改革导致职能调整），且无其他主体承接时，可能涉及行政权配置的合法性审查，但此情形不属于典型的公益诉讼监督范围。

3. 与民事公益诉讼的区别
   若行政机关不行使处罚权导致民事主体侵害公共利益（如企业违法排污），检察机关可提起民事公益诉讼，要求民事主体承担责任。但此路径针对的是民事主体，而非直接监督行政机关的处罚权。

建议：若您遇到行政机关怠于行使处罚权且损害公共利益的情况，可向检察机关申请立案监督或直接反映线索，由检察机关依法启动公益诉讼程序。如有具体案例或细节需进一步分析，可直接向我咨询。