在行政公益诉讼中，行政机关不履行监管职责的认定，主要依据其是否依法履行了法定职责、是否存在不作为或乱作为的情形，以及这种不作为或乱作为是否对公共利益造成了损害或威胁。以下从几个方面进行详细分析：
一、法定职责的履行情况
法定职责的明确性：首先，需要明确行政机关的法定职责是什么。这通常依据相关法律法规、规章以及行政机关的“三定”方案（即定职能、定机构、定编制）来确定。如果行政机关的职责不明确或存在争议，可能需要通过法律解释、行政解释或司法解释来明确。
职责履行的实际行为：在明确了行政机关的法定职责后，需要考察其是否实际履行了这些职责。这包括行政机关是否采取了必要的行政措施、是否进行了必要的调查、是否作出了相应的行政决定等。如果行政机关没有采取任何行动或采取的行动明显不足以履行其职责，则可能构成不履行监管职责。
二、不作为或乱作为的情形
不作为：不作为是指行政机关在明知或应当明知其负有法定职责的情况下，故意或过失地不履行该职责。例如，行政机关对违法行为视而不见、对投诉举报不闻不问、对应当作出的行政决定拖延不决等。
乱作为：乱作为则是指行政机关在履行职责过程中，违反了法律法规的规定或超越了其职权范围，导致公共利益受到损害或威胁。例如，行政机关滥用职权、徇私舞弊、违法审批等。
三、对公共利益的影响
损害或威胁的认定：在行政公益诉讼中，除了需要证明行政机关存在不作为或乱作为的情形外，还需要证明这种不作为或乱作为对公共利益造成了损害或威胁。这通常需要通过证据来证明，如环境监测数据、消费者投诉记录、安全事故报告等。
公共利益的界定：公共利益是一个相对抽象的概念，通常包括环境保护、消费者权益保护、公共安全、公共卫生等多个方面。在认定行政机关是否损害或威胁了公共利益时，需要结合具体案件的情况和法律法规的规定来进行综合判断。
四、法律后果与救济途径
法律后果：如果行政机关被认定存在不履行监管职责的情形，且这种不履行对公共利益造成了损害或威胁，那么行政机关可能需要承担相应的法律责任。这包括被法院判决履行职责、赔偿损失、恢复原状等。
救济途径：对于行政机关不履行监管职责的行为，公民、法人或其他组织可以通过提起行政公益诉讼来寻求救济。在诉讼过程中，原告需要提供充分的证据来证明行政机关存在不作为或乱作为的情形，以及这种不作为或乱作为对公共利益造成了损害或威胁。
举例说明：假设某地区存在严重的环境污染问题，环保部门在接到投诉后未及时进行调查处理，导致污染问题持续存在并对周边居民的健康造成了威胁。在这种情况下，周边居民或相关环保组织可以提起行政公益诉讼，要求环保部门履行其监管职责。如果法院经审理认为环保部门确实存在不履行监管职责的情形，且这种不履行对公共利益造成了损害或威胁，那么法院可能会判决环保部门采取必要的措施来治理污染、赔偿损失等。
建议：如果您认为行政机关存在不履行监管职责的情形，并希望提起行政公益诉讼来寻求救济，建议您及时收集相关证据并咨询专业律师（即向我咨询）的意见。我将根据您的具体情况和法律法规的规定，为您提供专业的法律建议和帮助。