单位不出具解除劳动关系证明是违法的，若因此给劳动者造成损害，劳动者有权要求单位承担赔偿责任。以下从不同角度为您详细分析：

一、法律依据与用人单位义务

根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十条，用人单位在解除或终止劳动合同时，必须出具相应的证明，并在规定时间内为劳动者办理档案和社会保险关系的转移手续。这是用人单位的法定义务，若未履行，将承担相应的法律责任。同时，第八十九条明确规定，若用人单位违反此规定未出具书面证明，劳动行政部门将责令其改正；若给劳动者造成损害，用人单位还需承担赔偿责任。

二、赔偿责任构成与情形

1. 赔偿责任的构成要件：

   • 用人单位未履行出具证明的法定义务。
   • 劳动者因单位未出具证明而遭受实际损害。
   • 损害与单位未出具证明之间存在直接因果关系。

2. 可能获得赔偿的情形：

   • 求职受阻导致的经济损失：如劳动者因缺乏解除劳动关系证明而被新单位拒绝录用，导致无法就业期间的工资收入损失，可要求原单位赔偿。
   • 失业保险待遇损失：若单位未出具证明影响劳动者办理失业登记和领取失业保险金，单位需赔偿相应的失业保险待遇损失。

三、劳动者的维权途径与举证责任

1. 维权途径：

   • 私下沟通：首先尝试与公司负责人沟通解决，看是否能达成一致并出具证明。
   • 向劳动监察部门投诉：若沟通无果，可向劳动监察部门投诉，要求其责令单位改正并赔偿损失。
   • 申请仲裁或提起诉讼：若损失较大或单位拒不赔偿，劳动者可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，或对仲裁结果不服时向人民法院提起诉讼。

2. 举证责任：

   • 劳动者需承担举证责任，证明单位未出具证明与自己遭受的损害之间存在因果关系。
   • 相关证据包括但不限于：新单位拒绝录用的书面说明、失业保险经办机构关于无法领取失业保险金原因的证明、劳动合同、工资单、沟通记录等。

四、实际建议

在实际操作中，我建议您首先尝试与用人单位进行友好沟通，明确要求其出具解除劳动关系的证明。如果用人单位拒绝或拖延，您可以向当地的劳动监察部门投诉，并准备好相关证据以支持您的主张。如果损失较大，您还可以考虑通过法律途径，如申请劳动仲裁或提起诉讼，来维护自己的合法权益。

总结来说，单位不出具解除劳动关系证明不仅违法，还可能因此承担赔偿责任。作为劳动者，您应积极维护自己的合法权益，通过合法途径主张赔偿，并确保保留好相关证据以支持自己的主张。如果您在此过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。