结论前置：

1. 若存款为母亲个人财产：父亲可以直接支取，但需注意可能涉及的家庭关系处理。
2. 若存款为夫妻共同财产：父亲不能直接支取母亲名下的全部存款，需先进行遗产分割，确定属于父亲的部分后，再按相关规定处理。

详细分析：

首先，我们需要明确存款的性质，这是决定父亲能否直接支取的关键。

一、存款为母亲个人财产的情况

如果母亲名下的存款是其个人财产，比如婚前存款、个人继承或受赠的财产，并且有明确的证据证明这一点（如婚前财产协议、继承文件等），那么从法律上讲，这些存款属于母亲的个人所有。在母亲去世后，这些存款将作为她的遗产进行分配。但在此之前，若母亲已去世且未留下遗嘱指定存款的继承人，那么按照法定继承，父亲作为配偶是第一顺序继承人之一，有权继承部分或全部遗产（具体份额需根据其他继承人情况确定）。不过，在遗产分配前，父亲并不能直接“支取”存款，而是需要通过继承程序来获得存款的所有权。但若从实际操作角度，且家庭内部无争议，父亲作为遗产的主要或唯一继承人，在办理相关手续后，可以视为“有权处理”这些存款。但严格来说，这需经过法律程序确认。

二、存款为夫妻共同财产的情况

如果母亲名下的存款是婚姻关系存续期间积累的，那么根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，这些存款通常被视为夫妻共同财产。在母亲去世后，这些存款的一半将自动归父亲所有（因为这是夫妻共同财产中父亲应享有的部分），而另一半则作为母亲的遗产进行分配。

1. 遗产分割：

   • 在母亲未留下遗嘱的情况下，父亲的另一半存款（即母亲遗产中的部分）将按照法定继承顺序进行分配。第一顺序继承人包括配偶（父亲）、子女、父母（如果仍在世）。
   • 如果母亲留下了遗嘱，并且遗嘱中明确指定了存款的继承人，那么应按照遗嘱执行。

2. 支取存款：

   • 在遗产分割前，父亲不能直接支取母亲名下的全部存款。他只能支取自己应享有的夫妻共同财产部分（即存款的一半），而另一半则需等待遗产分割后，根据继承结果来处理。
   • 如果父亲希望支取母亲名下的存款，他需要先办理遗产继承手续，包括提供死亡证明、亲属关系证明等材料，并前往公证处办理继承公证。之后，他可以凭继承公证书、身份证等材料到银行办理存款支取或转移手续。

三、特殊情况与建议

• 家庭协商：在家庭内部关系和谐的情况下，继承人之间可以协商确定存款的分配方式，以减少法律程序和成本。
• 法律程序：如果继承人之间对存款的分配存在争议，或者无法协商一致，那么可以通过向人民法院提起诉讼来解决争议。法院将根据法律规定和案件事实来作出判决。
• 专业咨询：由于遗产继承问题可能涉及复杂的法律关系和财产权益，因此建议在实际操作前咨询专业律师的意见，以确保自己的权益得到妥善保护。

最后，如果家庭内部对存款的支取或分配存在疑问或争议，建议及时咨询专业律师以获取更具体的法律建议。有问题可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律指导。