当在职人员因互殴被拘留时，单位需要依据内部规章制度以及相关法律法规进行妥善处理。以下是一个详细且深入的处理流程建议：
一、审阅内部规章制度
首先，单位应审慎检视自身的规章制度，确认其中是否对员工的不当行为（如斗殴）有明确的规定。这些规定可能涉及警告、岗位调整、解除劳动合同等处罚措施。如果规章制度中有相关规定，单位应严格按照这些规定来处理。
二、开展内部调查
接下来，单位应开展内部调查，以深入了解斗殴事件的详细经过、引发纷争的具体缘由以及该事件对单位可能带来的潜在负面影响。这一步骤对于后续的处理决策至关重要，因为它能为单位提供全面且可靠的参考依据。
三、根据调查结果采取相应措施
轻微影响：如果调查结果显示，涉事员工的不当行为对单位的影响较小，且员工有改正的意愿，单位可以考虑给予警告或记过等较轻的处罚，并要求员工进行书面检讨或承诺不再发生类似行为。
严重影响：如果涉事员工的不当言行已经严重波及到单位的企业形象乃至商业利益，那么单位应考虑将其解聘。但在实际操作中，务必确保处置流程合法合规，例如在启动劳动裁决之前，先向工会发出事先通告或遵循其他必须履行的法定程序。
四、薪酬支付问题
关于涉事员工在拘留期间的薪酬支付问题，单位可以参照既定的单位惯例和相关法律法规来执行。一般情况下，如果员工因个人原因（如斗殴）被拘留，单位可能会暂停支付其薪资等待遇，直至事件得到妥善解决。
五、保持公正合法立场
在整个处理过程中，单位应始终保持公正、合法的立场，确保所有决策都基于事实和法律依据。同时，单位也应考虑员工的合法权益，避免过度处罚或侵犯员工权益。
六、特殊情况处理（针对公职人员）
如果涉事员工是公职人员（如公务员），那么单位在处理时还需考虑公职人员的特殊身份和相关规定。一般情况下，公职人员因打架被行政拘留，其处分可能包括警告、记过以及开除等。具体处分取决于事因的严重性以及单位对此事的看法。
综上所述，当在职人员因互殴被拘留时，单位应依据内部规章制度和相关法律法规进行妥善处理，确保处理过程公正、合法，并始终以维护单位的整体利益为出发点。