针对您提出的“事业单位人员打架被拘留怎么处理”的问题，这确实是一个涉及法律法规和单位内部管理规定的复杂情况。以下是我为您提供的详细解答：

一、明确拘留性质

首先，需要明确的是，拘留分为治安拘留（行政拘留）和刑事拘留两种。治安拘留是公安机关对违反治安管理规定的行为人采取的短期限制人身自由的处罚，期限一般在15日以下，合并执行不超过20日。而刑事拘留则意味着行为可能涉嫌犯罪，后续可能面临刑事诉讼程序，拘留期限一般为14日，特殊情况下可延长至37日。

二、单位处理流程

1. 治安拘留的处理

• 调查核实：单位应首先与执法机关联系，获取详细的拘留信息和原因，确保对事件有全面的了解。
• 内部讨论：依据调查结果和单位规章制度，确定处理方式。如果情节较轻且未对单位造成较大影响，可以进行批评教育，并要求职工写出检讨。
• 纪律处分：根据《事业单位工作人员处分暂行规定》，单位可以给予警告、记过等处分，这将影响职工的岗位晋升和绩效工资。

2. 刑事拘留的处理

• 暂停职务：一旦确认职工被刑事拘留，单位应立即暂停其工作职务，停发工资，改为发放生活费。
• 等待司法结果：单位应密切关注司法机关的处理进程和最终判决。如果职工被无罪释放，单位应恢复其工作和工资待遇，并补偿损失；如果职工被有罪判决，单位将依据相关法律法规给予相应的纪律处分，如降低岗位等级、撤职或开除等。

三、职工权益保障与单位运转

• 保障职工权益：在处理过程中，单位应充分尊重职工的合法权益，确保处理程序的公正性和合法性。职工有权咨询律师，了解自己在治安处罚或刑事诉讼程序中的权利和义务。
• 与职工及家属沟通：单位应积极与职工及其家属沟通，解释处理决定的原因和依据，并告知申诉渠道和程序。
• 单位正常运转：对于因拘留无法履行工作职责的职工，单位应安排其他人员接替，以确保单位正常运转。

四、个人应对建议

• 保持冷静与配合：如果职工本人被拘留，应保持冷静，不抗拒抓捕，避免冲突。在讯问环节应如实陈述，配合警方调查。
• 及时寻求法律帮助：职工或其家属应尽快聘请专业律师进行法律咨询和辩护，以维护自己的合法权益。
• 保持与单位的沟通：职工或其家属应及时与单位沟通，传递案件进展和需要的信息，以便单位做出相应的处理决定。

五、结论与建议

事业单位人员打架被拘留是一个复杂且敏感的问题，需要单位在遵循法律法规的前提下，兼顾职工的合法权益和单位的整体利益。建议单位在处理此类问题时，咨询专业律师或法律顾问的意见，确保处理的合法性和合理性。同时，单位也应加强内部管理，完善规章制度，预防类似事件的发生。

希望以上解答能对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的咨询，请随时告诉我。