政府机关保安在履行职责时被来访人打伤，公安部门可以追究打人者的行政责任和/或刑事责任，同时被打伤的保安还可以依法追究打人者的民事赔偿责任。以下从不同法律角度进行详细分析：
一、行政责任
法律依据：
- 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十三条：“殴打他人的，或者故意伤害他人身体的，处五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。有下列情形之一的，处十日以上十五日以下拘留，并处五百元以上一千元以下罚款：（一）结伙殴打、伤害他人的；（二）殴打、伤害残疾人、孕妇、不满十四周岁的人或者六十周岁以上的人的；（三）多次殴打、伤害他人或者一次殴打、伤害多人的。”
分析：
- 如果打人者的行为尚未构成犯罪，但违反了治安管理规定，公安部门可以依据上述法律条款对打人者进行行政处罚，包括拘留和罚款。
二、刑事责任
法律依据：
- 根据《中华人民共和国刑法》第二百三十四条：“故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。犯前款罪，致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。本法另有规定的，依照规定。”
分析：
- 如果打人者的行为构成故意伤害罪，即故意非法损害他人身体健康，且达到一定的伤害程度（如轻伤以上），公安部门将立案侦查，并依法追究打人者的刑事责任。
三、民事责任
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百七十九条：“侵害他人造成人身损害的，应当赔偿医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。造成残疾的，还应当赔偿辅助器具费和残疾赔偿金；造成死亡的，还应当赔偿丧葬费和死亡赔偿金。”
分析：
- 无论打人者是否受到行政处罚或刑事处罚，被打伤的保安都有权依法要求打人者承担民事赔偿责任，包括医疗费、误工费、护理费等因伤害造成的直接经济损失。
四、建议与后续行动
及时报警：
- 保安在被打伤后，应立即向公安部门报案，以便公安部门及时介入调查，固定证据。
保留证据：
- 保安应保留好与伤害事件相关的所有证据，如医疗记录、现场照片、证人证言等，以便在后续的法律程序中证明自己的权益。
咨询专业律师：
- 在处理此类事件时，建议保安或其所在单位咨询专业律师，以便更好地了解自己的法律权益，并制定合适的维权策略。不过，您现在就可以直接向我咨询相关法律问题。
依法维权：
- 保安可以根据自己的损失情况，依法向打人者提出民事赔偿要求，或通过法律途径追究打人者的行政责任和刑事责任。
综上所述，政府机关保安在履行职责时被来访人打伤，公安部门可以依据相关法律法规追究打人者的行政责任和/或刑事责任，同时保安还可以依法追究打人者的民事赔偿责任。