未签劳动合同，用人单位不可以随意辞退员工。劳动关系的建立并不以签订书面劳动合同为前提，只要存在实际用工行为，即构成劳动关系，双方均受劳动法律法规的约束。以下从不同角度为您详细分析：

一、未签劳动合同的法律后果

1. 双倍工资责任：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这是对公司未履行签订劳动合同义务的直接法律制裁。

2. 视为无固定期限劳动合同：如果用人单位自用工之日起满一年仍未与劳动者订立书面劳动合同，则视为双方已订立无固定期限劳动合同，即公司需承担长期雇佣的责任。

3. 事实劳动关系受法律保护：即便未签订书面劳动合同，双方已形成的事实劳动关系同样受到法律的严格保护。用人单位不能随意解除这种劳动关系，否则将面临法律责任。

二、辞退员工的合法性

1. 合法辞退情形：公司可以在以下情况下合法辞退员工，如员工严重违反公司规章制度（前提是规章制度合法合理且经过民主程序制定并向员工公示）、员工严重失职给公司造成重大损害、员工被依法追究刑事责任等《劳动合同法》规定的过错性辞退情形。在这些情况下，公司无需支付经济补偿。

2. 违法辞退情形：若员工不存在上述过错情形，公司无正当理由随意辞退员工，则属于违法解除劳动关系。无论是否签订劳动合同，这种违法辞退行为都是不被法律允许的。

三、违法辞退的法律责任

1. 赔偿金支付：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。

2. 经济补偿计算：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，具体为：每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。赔偿金则是经济补偿标准的二倍。

四、实际案例分析

以小李为例，他在某公司工作了五个月，但公司一直未与其签订劳动合同。之后，公司无故将其辞退。在此情况下，小李有权要求公司支付第二个月至第五个月的双倍工资差额，并因公司违法解除劳动关系而要求支付半个月工资标准的二倍作为赔偿金。

五、建议与指导

1. 对用人单位的建议：

   • 应尽快与员工签订正式的劳动合同，明确双方的权利和义务，以避免潜在的纠纷和法律风险。
   • 在解雇员工时，必须遵循相关法律规定，确保解雇行为的合法性和合理性，如提前通知、支付相应的经济补偿等。

2. 对劳动者的建议：

   • 在遇到用人单位未签订劳动合同或无故辞退的情况时，应通过协商、向劳动监察部门投诉、申请劳动仲裁等方式来维护自己的合法权益。
   • 了解并遵守相关的法律法规，提高自己的法律意识，以便在劳动关系中更好地保护自己的权益。

综上所述，无论是用人单位还是劳动者，都应了解并遵守劳动法律法规，以确保劳动关系的和谐稳定。在未签订劳动合同的情况下，用人单位不能随意辞退劳动者，否则将面临法律责任。如果您在此方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。