结论：员工做了20天被辞退，单位不可以不签劳动合同，且若单位无正当理由辞退员工，可能构成违法。同时，员工在试用期内有权提前通知解除劳动关系，并应获得相应工资。

分析如下：

1. 关于劳动合同的签订：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，且应当自用工之日起一个月内与劳动者订立书面劳动合同。这意味着，无论员工工作多久，单位都应在法定期限内与其签订劳动合同。
   • 在您描述的情况下，员工已经工作了20天，单位尚未与其签订劳动合同，这已经违反了法律规定。单位不能以员工工作天数短为由拒绝签订劳动合同。

2. 关于辞退的合法性：

   • 如果单位无正当理由辞退员工，如员工没有明显违反企业内部规章制度或其他法定事由，那么单位的辞退行为可能构成违法。
   • 根据法律规定，违法辞退的，劳动者有权要求用人单位支付赔偿金。赔偿金的标准通常为经济补偿标准的二倍，而经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。因此，在您描述的情况下，若单位违法辞退，员工可主张相当于1个月工资的赔偿金（考虑到双倍赔偿的因素，但实际计算时以半个月为基数双倍，即相当于1个月工资的赔偿效果，此处为便于理解简化表述）。

3. 关于试用期的解除权：

   • 如果员工仍处于试用期内（通常试用期会根据劳动合同期限的长短而有所不同，但20天的工作时长很可能处于试用期内），根据法律规定，员工在试用期内提前三日通知用人单位，即可解除劳动合同。
   • 这意味着，即使单位未与员工签订书面劳动合同，员工在试用期内仍有权提前通知解除劳动关系。

4. 关于工资支付：

   • 无论员工是否签订劳动合同，也无论员工是否被辞退，单位都应按照员工实际工作的天数支付工资。
   • 如果单位拒绝支付工资，员工有权通过法律途径维护自己的合法权益，如向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。

建议与行动：

• 如果您作为员工遇到了这种情况，首先可以与单位进行协商，要求单位签订劳动合同、支付应得的工资以及可能的赔偿金。
• 如果协商无果，您可以收集能证明劳动关系的证据（如工资支付记录、工作证、考勤记录等），向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁来维护自身权益。

希望以上分析能对您有所帮助。如果您还有其他法律问题或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。