结论：上班20天没有签劳动合同被辞退，您有权通过法律途径维护自身合法权益，包括要求公司支付未签订劳动合同期间的双倍工资差额以及可能的违法解除劳动合同的赔偿金。
一、确认劳动关系及收集证据
确认事实：
- 尽管未签订书面劳动合同，但您与公司之间确实存在劳动关系。您可以通过工作证、服务证、考勤记录、同事证言等方式来证明这一点。
收集证据材料：
- 工资支付凭证：如银行工资流水明细，显示工资发放的主体和时间。
- 身份证明证件：如工作证、服务证，上面通常会有公司的名称、标志以及您的姓名、职位等信息。
- 招用记录：如您填写的用人单位招工招聘“登记表”“报名表”等，这些表格一般会包含您的个人信息、应聘岗位、入职时间等内容。
- 考勤记录：电子打卡记录、纸质签到表等，反映您的出勤情况和工作时间。
- 同事证言：如果有同事愿意为您作证，他们的证言也可以作为辅助证据。
二、与公司协商沟通
主动沟通：
- 尝试与公司负责人或人力资源部门进行友好协商，了解被辞退的具体原因，并表达您对未签订劳动合同和被辞退的不满和诉求。
提出合理要求：
- 根据《劳动合同法》的规定，您可以向公司提出补签劳动合同、支付未签订劳动合同期间的双倍工资差额（自用工之日起超过一个月不满一年未签订的，应每月支付二倍工资）、给予经济补偿等合理要求。
- 若公司违法解除劳动合同，还应按照经济补偿标准的二倍向您支付赔偿金。经济补偿按您在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资的经济补偿。
三、申请劳动仲裁
确定仲裁机构：
- 劳动争议由劳动合同履行地或者用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会管辖。您需要根据实际情况选择合适的仲裁机构。
准备仲裁申请材料：
- 仲裁申请书：写明申请人和被申请人的基本信息、仲裁请求事项和所根据的事实与理由、证据和证据来源、证人姓名和住所等内容。
- 证据材料：将之前收集到的能够证明您与公司存在劳动关系以及公司违法行为的证据材料进行整理，并按照被申请人人数提交副本。
参与仲裁程序：
- 仲裁委员会受理申请后，会安排开庭审理。在庭审过程中，您要如实陈述事实，回答仲裁员的提问，并对对方提出的观点和证据进行质证和辩论。
四、法律救济途径
对仲裁结果不服的处理：
- 如果对仲裁裁决不服，您可以在收到裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，要继续收集和提供证据，支持自己的诉讼请求。
寻求法律援助：
- 如果您经济困难或其他符合法律援助条件的，可以向当地法律援助机构申请法律援助。法律援助机构会指派律师为您提供免费的法律服务。
五、相关法律依据
- 未签劳动合同的责任：《劳动合同法》第八十二条规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 违法解除劳动合同的赔偿：《劳动合同法》第四十八条和第八十七条规定，用人单位违法解除或者终止劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
具体计算示例（假设您月工资为5000元）：
- 双倍工资差额：由于您工作了20天，未超过一个月，因此在此情况下不直接适用双倍工资条款（该条款适用于超过一个月未签合同的情况）。但若从用工满一个月的次日起算（假设您继续工作至满一个月后被辞退），则公司应支付您从满一个月次日起至辞退日止的双倍工资差额。不过，就您当前情况（仅20天），此部分暂不计算，但您应知晓此权利。
- 经济补偿：由于您工作不满六个月，公司应支付您半个月工资的经济补偿，即5000元 / 2 = 2500元。若公司违法解除，则需支付赔偿金，即经济补偿的两倍，为5000元。
行动建议：
- 立即开始收集上述证据材料。
- 尝试与公司进行友好协商，看是否能达成和解。
- 若协商无果，尽快向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 如有需要，及时寻求法律援助或咨询专业律师（即我本人，您可直接向我提问）。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。