结论：员工合同到期后20天，公司能否辞退员工，这并非一个简单的“能”或“不能”的问题，而是需要根据具体情况来判断。

分析：

1. 合同到期后的自然终止：

   • 一般情况下，劳动合同到期即终止，双方的权利义务关系也随之结束。如果合同中没有约定自动续期或双方没有达成续签协议，那么合同到期后，员工与公司之间的劳动关系就自然终止了。
   • 在这种情况下，公司无需“辞退”员工，因为劳动关系已经因合同到期而自然终止。公司只需按照法律规定办理离职手续，如结算工资、转移社保等。

2. 合同到期后未续签但继续工作的情况：

   • 如果合同到期后，员工继续在公司工作，而公司没有提出异议，也没有与员工续签劳动合同，那么根据《劳动合同法》的相关规定，这将被视为双方同意以原条件继续履行劳动合同。
   • 在这种情况下，如果公司想要“辞退”员工，就需要按照法律规定的程序进行，如提前通知、支付经济补偿等。否则，公司可能构成违法解除劳动合同，需要承担相应的法律责任。

3. 合同到期后公司提出不续签的情况：

   • 如果合同到期后，公司明确表示不续签劳动合同，那么公司需要按照法律规定向员工支付经济补偿（除非员工存在过错或双方另有约定）。
   • 在这种情况下，公司无需等到20天后才“辞退”员工，可以在合同到期时即告知员工不续签，并办理离职手续。

4. 特殊情况下的处理：

   • 如果员工在合同到期前或到期后存在严重违反公司规章制度、失职或营私舞弊给公司造成重大损害等情形，公司可以依据法律规定和合同约定立即解除劳动合同，无需支付经济补偿。
   • 另外，如果双方在合同中约定了合同到期后的处理方式（如自动续期、提前通知等），那么应按照合同约定执行。

建议：

• 对于公司而言，在合同到期前应提前与员工沟通续签事宜，避免合同到期后出现劳动关系不明确的情况。如果决定不续签，应按照法律规定支付经济补偿并办理离职手续。
• 对于员工而言，如果合同到期后继续在公司工作但未续签劳动合同，应注意保留相关证据（如工作记录、工资单等），以备不时之需。如果公司违法解除劳动合同，员工可以依法维护自己的合法权益。

后续行动：

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